<< Chapter < Page Chapter >> Page >

. Xác định chỉ số cột pivot s :

c ¯ s = max c ¯ k > 0 c ¯ N size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{s} } = "max"" " left lbrace {overline {c}} rSub { size 8{k} }>0 in {overline {c}} rSub { size 8{N} } right rbrace } {} = max 3 = 3 = c __ 2 size 12{ {}="max " left lbrace " 3 " right rbrace =3= {c} cSup { size 8{"__"} } rSub { size 8{2} } } {}

Vậy s=2

Ma trận cột s=2 trong ma trận N ¯ size 12{ {overline {N}} } {} - 1 3 1 righ N ¯ 2 = size 12{ {overline {N}} rSub { size 8{2} } =alignl { stack { left [" -"1 {} #right ] left [" 3" {} #right ] left [" 1" {} #righ]} } \[ \]} {}

. Xác định chỉ số dòng pivot r :

min b ¯ i N ˉ is = min b ¯ 2 N ¯ 22 , b ¯ 3 N ¯ 23 = min 3 3 , 5 1 = 1 = b ¯ 2 N ˉ 22 size 12{"min " left lbrace { { {overline {b}} rSub { size 8{i} } } over { { bar {N}} rSub { size 8{"is"} } } } right rbrace ="min " left lbrace { { {overline {b}} rSub { size 8{2} } } over { {overline {N}} rSub { size 8{"22"} } } } , { { {overline {b}} rSub { size 8{3} } } over { {overline {N}} rSub { size 8{"23"} } } } right rbrace ="min" left lbrace { {3} over {3} } , { {5} over {1} } right rbrace =1= { { {overline {b}} rSub { size 8{2} } } over { { bar {N}} rSub { size 8{"22"} } } } } {}

Vậy r = 2

e- Hoán vị

. Cột thứ s=2 trong ma trận N và cột thứ r=2 trong ma trận B

. Phần tử thứ s=2 trong c N T size 12{c rSub { size 8{N} } rSup { size 8{T} } } {} với phần tử thứ r=2 trong c B T size 12{c rSub { size 8{B} } rSup { size 8{T} } } {}

. Biến thứ s=2 trong x N T size 12{x rSub { size 8{N} } rSup { size 8{T} } } {} với biến thứ r=2 trong x B T size 12{x rSub { size 8{B} } rSup { size 8{T} } } {}

A = 1 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 2 1 0 1 A = 1 0 1 1 0 0 1 1 2 0 0 0 1 2 1 size 12{A= left [ matrix { 1 {} # - 1 {} # \lline {} # 1 {} # 0 {} # 0 {} ##0 {} # 2 {} # \lline {} # 1 {} # 1 {} # 0 {} ## 0 {} # 2 {} # \lline {} # - 1 {} # 0 {} # 1{}} right ] rightarrow A= left [ matrix {1 {} # 0 {} # \lline {} # 1 {} # - 1 {} # 0 {} ## 0 {} # 1 {} # \lline {} # 1 {} # 2 {} # 0 {} ##0 {} # 0 {} # \lline {} # - 1 {} # 2 {} # 1{} } right ]" "} {}

c T = 0 1 2 0 0 c T = 0 0 2 1 0 size 12{c rSup { size 8{T} } = left [ matrix { 0 {} # 1 {} # \lline {} # 2 {} # 0 {} # 0{}} right ]" " rightarrow " c" rSup { size 8{T} } = left [ matrix {0 {} # 0 {} # \lline {} # 2 {} # 1 {} # 0{} } right ]} {}

x T = x 3 x 2 x 1 x 4 x 5 x T = x 3 x 4 x 1 x 2 x 5 size 12{x rSup { size 8{T} } = left [ matrix { x rSub { size 8{3} } {} # x rSub { size 8{2} } {} # \lline {} # x rSub { size 8{1} } {} # x rSub { size 8{4} } {} # x rSub { size 8{5} } {}} right ] rightarrow " x" rSup { size 8{T} } = left [ matrix {x rSub { size 8{3} } {} # x rSub { size 8{4} } {} # \lline {} # x rSub { size 8{1} } {} # x rSub { size 8{2} } {} # x rSub { size 8{5} } {} } right ]} {}

f- Quay về bước a

Lần lặp 3

a. Tính ma trận nghịch đảo B-1

2 3 1 3 0 1 3 1 3 0 4 3 - 1 3 1 righ B = 1 -1 0 1 2 0 1 2 1 B 1 = size 12{B= left [ matrix { 1 {} # "-1" {} # 0 {} ##1 {} # 2 {} # 0 {} ## - 1 {} # 2 {} # 1{}} right ]" B" rSup { size 8{ - 1} } =alignl { stack {left [" " { {2} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0" {} # right ]left [ - { {1} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0" {} # right ]left [" " { {4} over {3} } " -" { {1} over {3} } " 1" {} # righ]} } \[ \] } {}

b- Tính các tham số

. Phương án cơ sở khả thi tốt hơn :

x 1 x 2 x 5 righ 2 3 1 3 0 1 3 1 3 0 4 3 - 1 3 1 righ [ ] 3 6 2 righ 4 1 4 righ x 3 x 4 righ 0 0 righ [ ] x B = x = size 12{x=alignl { stack { left [x rSub { size 8{B} } =alignl { stack {left [x rSub { size 8{1} } {} # right ]left [x rSub { size 8{2} } {} # right ]left [x rSub { size 8{5} } {} # righ]} } \[ \] =B rSup { size 8{ - 1} } b=alignl { stack {left [" " { {2} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0" {} # right ]left [ - { {1} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0" {} # right ]left [" " { {4} over {3} } " -" { {1} over {3} } " 1" {} # righ]} } \[ \] alignl { stack {left [3 {} # right ]left [6 {} # right ]left [2 {} # righ]} } \[ \] =alignl { stack {left [4 {} # right ]left [1 {} # right ]left [4 {} # righ]} } \[ \] = {overline {b}} {} #right ] left [x rSub { size 8{N} } =alignl { stack {left [x rSub { size 8{3} } {} # right ]left [x rSub { size 8{4} } {} # righ]} } \[ \] =alignl { stack {left [0 {} # right ]left [0 {} # righ]} } \[ \] {} #righ]} } \[ \]} {}

. Giá trị hàm mục tiêu :

z ( x ) = c B T x B = 2 1 0 4 1 4 = 9 size 12{z \( x \) =c rSub { size 8{B} } rSup { size 8{T} } x rSub { size 8{B} } = left [ matrix { 2 {} # 1 {} # 0{}} right ] left [ matrix {4 {} ## 1 {} ##4 } right ]=9} {} {}

. Tính ma trận :

2 3 1 3 0 1 3 1 3 0 4 3 - 1 3 1 righ 2 3 1 3 1 3 1 3 4 3 - 1 3 righ N __ = B 1 N = size 12{ {N} cSup { size 8{"__"} } =B rSup { size 8{ - 1} } N=alignl { stack { left [" " { {2} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0" {} #right ] left [ - { {1} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0" {} #right ] left [" " { {4} over {3} } " -" { {1} over {3} } " 1" {} #righ]} } \[ \]left [ matrix { " 1" {} # 0 {} ##" 0" {} # " 1" {} ## 0 {} # " 0"{}} right ]=alignl { stack {left [ { {2} over {3} } " " { {1} over {3} } {} # right ]left [ - { {1} over {3} } " " { {1} over {3} } {} # right ]left [ { {4} over {3} } " -" { {1} over {3} } {} # righ]} } \[ \] } {} {}

c- Xét dấu hiệu tối ưu :

c ¯ N T = c N T c B T N __ = 0 0 2 1 0 2 3 1 3 1 3 1 3 4 3 - 1 3 righ size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{N} } rSup { size 8{T} } =c rSub { size 8{N} } rSup { size 8{T} } - c rSub { size 8{B} } rSup { size 8{T} } {N} cSup { size 8{"__"} } = left [ matrix { 0 {} # 0{}} right ] - left [2" 1 0" right ]alignl { stack { left [ { {2} over {3} } " " { {1} over {3} } {} #right ] left [ - { {1} over {3} } " " { {1} over {3} } {} #right ] left [ { {4} over {3} } " -" { {1} over {3} } {} #righ]} } \[ \]= left [ - 1" -1" right ]<0} {} : dừng

Vậy phương án tối ưu sẽ là :

x B = x 1 x 2 x 5 = 4 1 4 x N = x 3 x 4 = 0 0 { size 12{alignl { stack { left lbrace x rSub { size 8{B} } = left [ matrix {x rSub { size 8{1} } {} ## x rSub { size 8{2} } {} ##x rSub { size 8{5} } } right ]= left [ matrix { 4 {} ##1 {} ## 4} right ] {} #right none left lbrace x rSub { size 8{N} } = left [ matrix { x rSub { size 8{3} } {} ##x rSub { size 8{4} } } right ]= left [ matrix { 0 {} ##0 } right ]{} # right no } } lbrace } {}

Giá trị hàm mục tiêu là z(x) = 9 với x1 = 4 và x2 = 1

Chú ý trong trường hợp suy biến

Trong trường hợp bài toán suy biến, nghĩa là b ¯ r = 0 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{r} } =0} {} , ta có :

x s = b ¯ r a ¯ rs = 0 size 12{ {x} cSup { size 8{ and } } rSub { size 8{s} } = { { {overline {b}} rSub { size 8{r} } } over { {overline {a}} rSub { size 8{ ital "rs"} } } } =0} {}

cho nên giá trị của hàm mục tiêu không thay đổi khi thay đổi cơ sở, vì :

z ( x ) = z ( x ) + c ¯ s x s = z ( x ) size 12{z \( {x} cSup { size 8{ and } } \) =z \( x \) + {overline {c}} rSub { size 8{s} } {x} cSup { size 8{ and } } rSub { size 8{s} } =z \( x \) } {}

Vậy thì, có thể sau một số lần thay đổi cơ sở lại quay trở về cơ sở đã gặp và lặp như vậy một cách vô hạn. Người ta có nhiều cách để khắc phục hiện tượng này bằng cách xáo trộn một chút các dữ liệu của bài toán, sử dụng thủ tục từ vựng, quy tắc chọn pivot để tránh bị khử.

Giải thuật đơn hình cải tiến

Một cách tính ma trận nghịch đảo

Trong giải thuật đơn hình cơ bản hai ma trận kề B và B size 12{ {B} cSup { size 8{ and } } } {} chỉ khác nhau một cột vì vậy có thể tính ma trận nghịch đảo B 1 size 12{ {B} cSup { size 8{ and } } rSup { size 8{ - 1} } } {} một cách dễ dàng từ B-1 . Để làm điều đó chỉ cần nhân (bên trái) B-1 với một ma trận đổi cơ sở được xác định như sau :

μ = 1 0 . . a ¯ 1s a ¯ rs . . 0 0 1 . . a ¯ 2s a ¯ rs . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . 1 a ¯ rs . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . a ¯ ms a ¯ rs . . 1 dòng r côt r alignl { stack { size 12{μ= left [ matrix {1 {} # 0 {} # "." "." {} # { { - {overline {a}} rSub { size 8{"1s"} } } over { {overline {a}} rSub { size 8{"rs"} } } } {} # "." "." {} # 0 {} ## 0 {} # 1 {} # "." "." {} # { { - {overline {a}} rSub { size 8{"2s"} } } over { {overline {a}} rSub { size 8{"rs"} } } } {} # "." "." {} # 0 {} ##"." "." {} # "." "." {} # "." "." {} # "." "." {} # "." "." {} # "." "." {} ## 0 {} # 0 {} # "." "." {} # { {1} over { {overline {a}} rSub { size 8{"rs"} } } } {} # "." "." {} # 0 {} ##"." "." {} # "." "." {} # "." "." {} # "." "." {} # "." "." {} # "." "." {} ## 0 {} # 0 {} # "." "." {} # { { - {overline {a}} rSub { size 8{"ms"} } } over { {overline {a}} rSub { size 8{"rs"} } } } {} # "." "." {} # 1{}} right ] matrix {{} ## rightarrow " dòng r"} } {} # " " uparrow " côt r" {}} } {}

Khi đó :

B ˆ 1 = μB 1 size 12{ {B} cSup { size 8{ widehat } } rSup { size 8{ - 1} } =μB rSup { size 8{ - 1} } } {}

Ta thấy rằng ma trận đổi cơ sở  được thiết lập giống như một ma trận đơn vị mxm, trong đó cột r có các thành phần được xác định như sau :

a ¯ is a ¯ rs size 12{ { { - {overline {a}} rSub { size 8{ ital "is"} } } over { {overline {a}} rSub { size 8{ ital "rs"} } } } } {} : đối với thành phần i  r.

1 a ¯ rs size 12{ { {1} over { {overline {a}} rSub { size 8{ ital "rs"} } } } } {} : đối với thành phần r .

Khi mà ma trận cở sở xuất phát là ma trận đơn vị, sau một số bước đổi cơ sở B0 B1 B2 ....... Bq tương ứng với các ma trận đổi cơ sở 0 1 2 .…...q-1 người ta có cách tính ma trận nghịch đảo như sau :

B q 1 = μ 0 . μ 1 . . . . . . . μ q 1 size 12{ left [B rSup { size 8{q} } right ] rSup { size 8{ - 1} } =μ rSup { size 8{0} } "." μ rSup { size 8{1} } "." "." "." "." "." "." "." μ rSup { size 8{q - 1} } } {}

Quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn

Quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn là quy hoạch tuyến tính chính tắc mà trong đó có thể rút ra một ma trận cơ sở là ma trận đơn vị. Quy hoạch tuyến tính chuẩn có dạng :

min/max z ( x ) = c T x [ I N ] x = b x 0 { alignl { stack { size 12{"min/max"" "z \( x \) =c rSup { size 8{T} } x} {} #alignl { stack { left lbrace \[ I" N" \]x=b {} # right none left lbrace x>= 0 {} # right no } } lbrace {}} } {}

Giải thuật đơn hình cải tiến

Từ những kết quả trên người ta xây dựng giải thuật đơn hình cải tiến đối với bài toán qui hoạch tuyến tính (max) dạng chuẩn như sau :

a- Khởi tạo

A ¯ 0 = A size 12{ {overline {A}} rSub { size 8{0} } =A} {}

b ¯ 0 = b size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{0} } =b} {}

b- Thực hiện bước lặp với k = 0,1,2, ...

. Xác định phương án cơ sở khả thi :

x B k = b ¯ k x N k = 0 righ x k = size 12{x rSup { size 8{k} } =alignl { stack { left [x rSub { size 8{B rSub { size 6{k} } } } = {overline {b}} rSub {k} {} #right ] left [ size 12{x rSub {N rSub { size 6{k} } } size 12{ {}=0}} {} #righ]} } size 12{ \[ \]}} {}

. Tính giá trị hàm mục tiêu :

z ( x k ) = c B k T x B k = c B k T b ¯ k size 12{z \( x rSup { size 8{k} } \) =c rSub { size 8{B rSub { size 6{k} } } } rSup {T} size 12{x rSub {B rSub { size 6{k} } } } size 12{ {}=c rSub {B rSub { size 6{k} } } rSup {T} {overline { size 12{b} }} rSub {k} }} {}

. Xét dấu hiệu tối ưu :

c ¯ k T = c T c B k T A ¯ k size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{k} } rSup { size 8{T} } =c rSup { size 8{T} } - c rSub { size 8{B rSub { size 6{k} } } } rSup {T} {overline { size 12{A} }} rSub {k} } {}

- Nếu c ¯ k T 0 size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{k} } rSup { size 8{T} }<= 0} {} thì giải thuật dừng và :

x B k = b ¯ k x N k = 0 righ x k = size 12{x rSup { size 8{k} } =alignl { stack { left [x rSub { size 8{B rSub { size 6{k} } } } = {overline {b}} rSub {k} {} #right ] left [ size 12{x rSub {N rSub { size 6{k} } } size 12{ {}=0}} {} #righ]} } size 12{ \[ \]}} {} là phương án tối ưu

z ( x k ) = c B k T x B k = c B k T b ¯ k size 12{z \( x rSup { size 8{k} } \) =c rSub { size 8{B rSub { size 6{k} } } } rSup {T} size 12{x rSub {B rSub { size 6{k} } } } size 12{ {}=c rSub {B rSub { size 6{k} } } rSup {T} {overline { size 12{b} }} rSub {k} }} {} là giá trị hàm mục tiêu

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Quy hoạch tuyến tính. OpenStax CNX. Aug 08, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10903/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Quy hoạch tuyến tính' conversation and receive update notifications?

Ask