5.2 Eigenvectores y eigenvalores

En esta sección, nuestro sistema lineal seráuna matriz de n×n de números complejos. Algunos conceptos de este modulo están basado en los conceptos básicos de álgebra lineal .

Eigenvectores y eigenvalores

Sea $A$ una matriz de n×n donde $A$ es un operador lineal en los vectores de $\mathbb{C}^n$ .

Eigenvector

Un eigenvector de $A$ es un vector $v\in \mathbb{C}^n$ tal que

$Av=\lambda v$

donde $\lambda$ es llamado el eigenvalor correspondiente. $A$ solo cambia la longitud de $v$ , no su dirección.

Modelo grÁFico

A través de las siguientes y , veamos las diferencias de la y de la .

Si $v$ es un eigenvector de $A$ , entonces solo su longitud cambia. Véase y note que la longitud de nuestro vector esta simplemente escalada por una variable $\lambda$ , llamada eigenvalor :

Ejemplos

Calculando eigenvalores y eigenvectores

En los ejemplos anteriores, confiamos en su entendimiento de la definición y de algunas observaciones para encontrar y probar los valores de los eigenvectores y eigenvalores. Sin embrago como se puede dar cuenta, encontrar estos valores no siempre es fácil. A continuación veremos un método matemático para calcular eigenvalores y eigenvectores de una matriz.

Encontrando eigenvalores

Encontrar $\lambda \in \mathbb{C}$ tal que $v\neq 0$ , donde $0$ es el“vector cero”. Empezaremos con la , trabajemos de la siguiente manera mientras encontramos una manera explicita de calcular $\lambda$ . $$Av=\lambda v$$ $$Av-\lambda v=0$$ $$(A-\lambda I)v=0$$ En el paso previo, usamos el hecho de que $$\lambda v=\lambda Iv$$ donde $I$ es la matriz identidad. $$I=\begin{pmatrix}1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 1 & \dots & 0\\ 0 & 0 & \ddots & ⋮\\ 0 & \dots & \dots & 1\\ \end{pmatrix}()$$ Por lo tanto, $A-\lambda I$ es justo una matriz nueva.

Si $(A-\lambda I)v=0$ para algún $v\neq 0$ , entonces $A-\lambda I$ es no invertible . Esto quiere decir: $$\det (A-\lambda I)=0$$ este determinante (el mostrado arriba) se vuelve una expresión polinomial (de grado $n$ ). Véase el siguiente ejemplo para entender mejor.

Si no lo han notado, calcular los eigenvalores es equivalente a calcular las raíces de $$\det (A-\lambda I)=c_n\lambda ^n+c_{n-1}\lambda ^{(n-1)}+\dots +c_1\lambda +c_0=0$$

Encontrando eigenvectores

Dado un eigenvalor, ${\lambda }_i$ , el eigenvector asociado esta dado por $$Av={\lambda }_{i}v$$ $$A\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1{v}_1\\ ⋮\\ {\lambda }_n{v}_n\end{array}\right)$$ conjunto de $n$ ecuaciones con $n$ incognitas. Simplemente se resuelven las solve the $n$ ecuaciones para encontrar los eigenvectores.

Punto principal

El decir que los eigenvectores de $A$ , $\{v_1, v_2, \dots , v_n\}()$ , generan el subespacio $\mathbb{C}^n$ , significa que $\{v_1, v_2, \dots , v_n\}()$ son linealmente independientes y que podemos escribir cualquier $x\in \mathbb{C}^n$ como

donde en la tenemos, $$b=\sum {\alpha }_i{\lambda }_i{v}_i$$

Problema de prÁCtica