0.4 Mô hình hóa các hệ thống vật lý  (Page 5/7)

Hai bánh răng nối nhau như hình H.5_12. Quán tính và ma sát của chúng được xem như không đáng kể trong trường hợp lý tưởng.

Những hệ thức giữa moment T1 và T2, góc dời 1 và2 , số răng N1 và N2 của bộ bánh răng được dẫn xuất từ các sự kiện sau đây:

1_ Số răng trên bề mặt các bánh răng tỉ lệ với bán kính r1và r2 của bánh răng:

r1N2=r2N1 (5.32)

2_ Khoảng dịch dọc theo bề mặt của mỗi bánh răng thì bằng nhau.

1r1=2r2 (5.33)

3_ Giả sử không có sự mất năng lượng, công tạo bởi bánh răng này bằng công của bánh răng kia.

T11=T22 (5.34)

Nếu 1 và 2 là vận tốc góc của chúng thì:

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{{\theta }_2}{{\theta }_1}=\frac{N_1}{N_2}=\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=\frac{r_1}{r_2}$ (5.35)

Thực tế, các bánh răng đều có quán tính và lực ma sát thỉåìng không bỏ qua.

T= moment áp dụng

1, 2: góc dời.

T1, T2: moment được truyền đến bánh răng

J1, J2; quán tính của bánh răng

N1, N2: số răng

Fc1,Fc2: Hệ số ma sát coulomb.

B1, B2: Hệ số ma sát nhớt (trượt).

Phương trình moment của bánh răng 2 được viết:

$T_2(t)=J_2\frac{d^2{\theta }_2(t)}{{\text{dt}}^2}+B_2\frac{{\mathrm{d\theta }}_2(t)}{\text{dt}}+{\text{Fc}}_2\frac{\stackrel{\text{.}}{{\theta }_2}}{\mid \stackrel{\text{.}}{{\theta }_1}\mid }$ (5.36)

Phương trình moment của bánh răng 1 là:

$T_2(t)=J_1\frac{d^2{\theta }_1(t)}{{\text{dt}}^2}+B_1\frac{{\mathrm{d\theta }}_1(t)}{\text{dt}}+{\text{Fc}}_1\frac{\stackrel{\text{.}}{{\theta }_1}}{\mid \stackrel{\text{.}}{{\theta }_1}\mid }+T_1(t)\text{.}$ (5.37)

Dùng (5.35), phương trình (5.36) đổi thành:

$T_1(t)=\frac{N_1}{N_2}{T}_2(t)={\frac{N_1}{N_2}}^2{J}_2\frac{d^2{\theta }_1(t)}{{\text{dt}}^2}+{\frac{N_1}{N_2}}^2{B}_2\frac{{\mathrm{d\theta }}_1(t)}{\text{dt}}+\frac{N_1}{N_2}{\text{Fc}}_2\frac{\stackrel{\text{.}}{{\theta }_1}}{\mid \stackrel{\text{.}}{{\theta }_1}\mid }$ (5.38)

Phương trình (5.38) chứng tỏ rằng có thể phản xạ quán tính, ma sát,momen,vận tốc và độ dời từ phía naỳ sang phía kia của bộ bánh răng.

Như vậy, các đại lượng sau đây sẽ có được khi phản xạ từ bánh răng 2 sang bánh răng 1 :

Quán tính : ${\frac{N_1}{N_2}}^2{J}_2$

Hệ số ma sát nhớt : ${\frac{N_1}{N_2}}^2{B}_2$

Momen : $\frac{N_1}{N_2}{T}_2$

Góc dời : $\frac{N_2}{N_1}{\theta }_2$

Vận tốc góc : $\frac{N_2}{N_1}{\omega }_2$

Momen ma sát coulomb : $\frac{N_1}{N_2}{\text{Fc}}_2\frac{{\omega }_2}{\mid {\omega }_2\mid }$

Nếu có sự hiện diện của lò xo xoắn, hằng số lò xo cũng được nhán bởi ${}^2$ , khi phản xạ từ bánh răng 2 sang bánh răng 1.

Bây giờ, thay (5.38) vào (5.37) :

T(t)= $J_{1e}\frac{d^2{\theta }_1t}{{\text{dt}}^2}$ + $B_{1e}\frac{{\mathrm{d\theta }}_1t}{\text{dt}}$ + $T_F$ (5.39)

Trong đó :

$J_{1e}$ = $J_1$ + $$ ${\frac{N_1}{N_2}}^2{J}_2$ (5.40)

$B_{1e}$ = $B_1$ + ${\frac{N_1}{N_2}}^2{B}_2$ (5.41)

$T_F$ = ${\text{Fc}}_1\frac{\stackrel{\text{.}}{{\theta }_1}}{\mid {\stackrel{\text{.}}{\theta }}_1\mid }$ + $\frac{N_1}{N_2}{\text{Fc}}_2\frac{\stackrel{\text{.}}{{\theta }_2}}{\mid {\stackrel{\text{.}}{\theta }}_2\mid }$ (5.42)

Dây courroir và dáy chain được dùng cùng mục đích như bộ bánh răng. Nhưng nó cho phép chuyển năng lượng với khoảng cách xa hơn mà không dùng các bánh răng với số răng quá lớn. Hình H.5_14 vẽ sơ đồ của một dây courroir (hoặc chain) giữa hai ròng rọc (pulley). Giả sử không có sự trượt giữa chúng. Dễ thấy rằng phương trình (5.41) vẫn còn được áp dụng trong trường

hợp này. Thật vậy, sự phản xạ (hay sự truyền dẫn) của momen, quán tính ma sát thì tương tự như trong một bộ bánh răng.

Đòn bẩy (lever) như trong hình H.5_15 truyền chuyển động thẳng và lực tương tự cách thức mà bộ bánh răng truyền chuyển động quay.

Hệ thức giữa lực và khoảng cách là :

$\frac{f_1}{f_2}$ = $\frac{l_2}{l_1}$ = $\frac{x_2}{x_1}$ (5.43)

Phương trình của của các hệ thống cơ khí.

Để viết các phương trình của một hệ cơ tuyến tính , trước nhất phải xây dựng trước một mô hình của hệ, bao gồm các bộ phận tuyến tính nối nhau. Sau đó áp dụng định luật Newton.

Thí dụ 5.2 :

Xem một hệ thống vẽ ở hình H. 5_16a . Sơ đồ vật thể tự do của hệ vẽ ở hình H.5_16b.

Phương trình lực của hệ được viết :

$ft$ = $M\frac{d^{2}yt}{{\text{dt}}^2}$ + $B\frac{\text{dy}t}{\text{dt}}$ + $\text{Ky}t$ $$ (5.44)

Phương trình cấp 2 (5.44) có thể phân thành hai phương trình trạng thái cấp một. Đặt $x_1$ =y và $x_2$ = $\frac{\text{dy}}{\text{dt}}$ như là các biến số trạng thái.

$\frac{{\text{dx}}_1t}{\text{dt}}$ = $x_2t$ (5.45)