<< Chapter < Page Chapter >> Page >

- Ngược lại thì sang bước (c)

c- Cập nhật các giá trị mới :

.Tính pivot

.Tính ma trận chuyển cơ sở k

.Tính A ¯ k + 1 = μ k A ¯ k size 12{ {overline {A}} rSub { size 8{k+1} } =μ rSup { size 8{k} } {overline {A}} rSub { size 8{k} } } {}

.Tính b ¯ k + 1 = μ k b ¯ k size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{k+1} } =μ rSup { size 8{k} } {overline {b}} rSub { size 8{k} } } {}

.Tăng số lần lặp k=k+1.

Quay về bước b

Ví dụ

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây bằng phương pháp đơn hình cải tiến :

max z ( x ) = 2x 1 + x 2 x 1 x 2 + x 3 = 3 x 1 + 2x 2 + x 4 = 6 x 1 + 2x 2 + x 5 = 2 x j 0 ( j = 1,2,3,4,5 ) { { alignl { stack { size 12{"max z" \( x \) ="2x" rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } } {} #alignl { stack { left lbrace x rSub { size 8{1} } - x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} } =3 {} #right none left lbrace x rSub { size 8{1} } +"2x" rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{4} } =6 {} # right none left lbrace - x rSub { size 8{1} } +"2x" rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{5} } =2 {} #right no } } lbrace {} # x rSub { size 8{j} }>= "0 " \( j="1,2,3,4,5" \) {} } } {}

Bước khởi tạo

A ¯ 0 = A = 1 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 b ¯ 0 = 3 6 2 N 0 B 0 alignl { stack { size 12{ {overline {A}} rSub { size 8{0} } =A= left [ matrix {1 {} # - 1 {} # \lline {} # 1 {} # 0 {} # 0 {} ## 1 {} # 2 {} # \lline {} # 0 {} # 1 {} # 0 {} ##- 1 {} # 2 {} # \lline {} # 0 {} # 0 {} # 1{} } right ]" " {overline {b}} rSub { size 8{0} } = left [ matrix { 3 {} ##6 {} ## 2} right ]} {} #" N" rSub { size 8{0} } " B" rSub { size 8{0} } {} } } {}

c T = 2 1 0 0 0 c N 0 T c B 0 T alignl { stack { size 12{c rSup { size 8{T} } = left [ matrix {2 {} # 1 {} # \lline {} # 0 {} # 0 {} # 0{} } right ]} {} # " c" rSub { size 8{N rSub { size 6{0} } } } rSup {T} size 12{" c" rSub {B rSub { size 6{0} } } rSup {T} } {}} } {}

Bước lặp k=0

x 3 x 4 x 5 righ 3 6 2 righ x N 0 = 0 righ x B 0 = x 0 = size 12{x rSup { size 8{0} } =alignl { stack { left [x rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } =alignl { stack {left [x rSub {3} {} # right ]left [ size 12{x rSub {4} } {} # right ]left [ size 12{x rSub {5} } {} # righ]} } size 12{ \[ \] }= {overline {b}} rSub {0} size 12{ {}=alignl { stack {left [3 {} # right ]left [6 {} # right ]left [2 {} # righ]} } \[ \] } {} #right ] left [x rSub {N rSub { size 6{0} } } size 12{ {}=0} {} #righ]} } \[ \]} {}

= 0 0 0 3 6 2 righ z ( x 0 ) = c B 0 T b ¯ 0 size 12{z \( x rSup { size 8{0} } \) =c rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } rSup {T} {overline { size 12{b} }} rSub {0} size 12{ {}= left [0" 0 0" right ] alignl { stack {left [3 {} # right ]left [6 {} # right ]left [2 {} # righ]} } \[ \] =0}} {}

= 2 1 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 righ c ¯ 0 T = c T c B 0 T A ¯ 0 size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{0} } rSup { size 8{T} } =c rSup { size 8{T} } - c rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } rSup {T} {overline { size 12{A} }} rSub {0} size 12{ {}= left [2" 1 0 0 0" right ] - left ["0 0 0" right ]alignl { stack { left [" "1" -1 1 0 0 " {} #right ] left [" 1 2 0 1 0" {} #right ] left [ - 1" 2 0 0 1" {} #righ]} } \[ \]= left [2" 1 0 0 0" right ]}} {}

1 1 1 righ [ ] 3 6 2 righ size 12{alignl { stack { left [" "1 {} #right ] left [" "1 {} #right ] left [ - 1 {} #righ]} } \[ \]alignl { stack { left [3 {} #right ] left [6 {} #right ] left [2 {} #righ]} } \[ \]} {} suy ra pivot : a ¯ 11 = 1 size 12{ {overline {a}} rSub { size 8{"11"} } =1} {}

μ 0 = 1 0 0 1 1 0 1 0 1 size 12{μ rSup { size 8{0} } = left [ matrix { " 1" {} # 0 {} # 0 {} ##- 1 {} # 1 {} # 0 {} ## " 1" {} # 0 {} # 1{}} right ]} {}

A ¯ 1 = μ 0 A ¯ 0 = size 12{ {overline {A}} rSub { size 8{1} } =μ rSup { size 8{0} } {overline {A}} rSub { size 8{0} } ={}} {} 1 0 0 1 1 0 1 0 1 size 12{ left [ matrix { " 1" {} # 0 {} # 0 {} ##- 1 {} # 1 {} # 0 {} ## " 1" {} # 0 {} # 1{}} right ]} {} 1 -1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 righ size 12{ alignl { stack { left [" "1" -1 1 0 0 " {} #right ] left [" 1 2 0 1 0" {} #right ] left [ - 1" 2 0 0 1" {} #righ]} } \[ \]} {} = 1 -1 1 0 0 0 3 -1 1 0 0 1 1 0 1 righ size 12{alignl { stack { left [1" -1 1 0 0" {} #right ] left ["0 3 -1 1 0" {} #right ] left ["0 1 1 0 1" {} #righ]} } \[ \]} {}

b ¯ 1 = μ 0 b ¯ 0 = size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{1} } =μ rSup { size 8{0} } {overline {b}} rSub { size 8{0} } ={}} {} 1 0 0 1 1 0 1 0 1 size 12{ left [ matrix { " 1" {} # 0 {} # 0 {} ##- 1 {} # 1 {} # 0 {} ## " 1" {} # 0 {} # 1{}} right ]} {} 3 6 2 righ size 12{alignl { stack { left [3 {} #right ] left [6 {} #right ] left [2 {} #righ]} } \[ \]} {} = 3 3 5 righ size 12{alignl { stack { left [3 {} #right ] left [3 {} #right ] left [5 {} #righ]} } \[ \]} {}

Bước lặp k=1

x 1 x 4 x 5 righ 3 3 5 righ x N 1 = 0 righ x B 1 = x 1 = size 12{x rSup { size 8{1} } =alignl { stack { left [x rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } =alignl { stack {left [x rSub {1} {} # right ]left [ size 12{x rSub {4} } {} # right ]left [ size 12{x rSub {5} } {} # righ]} } size 12{ \[ \] }= {overline {b}} rSub {1} size 12{ {}=alignl { stack {left [3 {} # right ]left [3 {} # right ]left [5 {} # righ]} } \[ \] } {} #right ] left [x rSub {N rSub { size 6{1} } } size 12{ {}=0} {} #righ]} } \[ \]} {}

= 2 0 0 3 3 5 righ z ( x 1 ) = c B 1 T b ¯ 1 size 12{z \( x rSup { size 8{1} } \) =c rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } rSup {T} {overline { size 12{b} }} rSub {1} size 12{ {}= left [2" 0 0" right ] alignl { stack {left [3 {} # right ]left [3 {} # right ]left [5 {} # righ]} } \[ \] =6}} {}

c ¯ 1 T = c T c B 1 T A ¯ 1 = 2 1 0 0 0 2 0 0 size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{1} } rSup { size 8{T} } =c rSup { size 8{T} } - c rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } rSup {T} {overline { size 12{A} }} rSub {1} size 12{ {}= left [2" 1 0 0 0" right ] - left ["2 0 0" right ]}} {} 1 -1 1 0 0 0 3 -1 1 0 0 1 1 0 1 righ size 12{alignl { stack { left [1" -1 1 0 0" {} #right ] left ["0 3 -1 1 0" {} #right ] left ["0 1 1 0 1" {} #righ]} } \[ \]} {}

= [ 0 3 -2 0 0 ]

1 3 1 righ [ ] 3 3 5 righ size 12{alignl { stack { left [-1 {} #right ] left [" 3" {} #right ] left [ 1 {} #righ]} } \[ \]alignl { stack { left [3 {} #right ] left [3 {} #right ] left [5 {} #righ]} } \[ \]} {} suy ra pivot : a ¯ 22 = 3 size 12{ {overline {a}} rSub { size 8{"22"} } =3} {}

μ 1 = 1 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 1 size 12{μ rSup { size 8{1} } = left [ matrix { 1 {} # " " { {1} over {3} } {} # 0 {} ##0 {} # " " { {1} over {3} } {} # 0 {} ## 0 {} # - { {1} over {3} } {} # 1{}} right ]} {}

A ¯ 2 = μ 1 A ¯ 1 = size 12{ {overline {A}} rSub { size 8{2} } =μ rSup { size 8{1} } {overline {A}} rSub { size 8{1} } ={}} {} 1 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 1 size 12{ left [ matrix {1 {} # " " { {1} over {3} } {} # 0 {} ## 0 {} # " " { {1} over {3} } {} # 0 {} ##0 {} # - { {1} over {3} } {} # 1{} } right ]} {} 1 -1 1 0 0 0 3 -1 1 0 0 1 1 0 1 righ size 12{alignl { stack { left [1" -1 1 0 0" {} #right ] left ["0 3 -1 1 0" {} #right ] left ["0 1 1 0 1" {} #righ]} } \[ \]} {} = 1 0 2 3 1 3 0 0 1 - 1 3 1 3 0 0 0 4 3 - 1 3 1 righ size 12{ alignl { stack { left [1" 0 " { {2} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0 " {} #right ] left ["0 1 -" { {1} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0" {} #right ] left [0" 0 " { {4} over {3} } " -" { {1} over {3} } " 1" {} #righ]} } \[ \]} {}

b ¯ 2 = μ 1 b ¯ 1 = size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{2} } =μ rSup { size 8{1} } {overline {b}} rSub { size 8{1} } ={}} {} 1 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 1 size 12{ left [ matrix { 1 {} # " " { {1} over {3} } {} # 0 {} ##0 {} # " " { {1} over {3} } {} # 0 {} ## 0 {} # - { {1} over {3} } {} # 1{}} right ]} {} 3 3 5 righ size 12{alignl { stack { left [3 {} #right ] left [3 {} #right ] left [5 {} #righ]} } \[ \]} {} = 4 1 4 righ size 12{alignl { stack { left [4 {} #right ] left [1 {} #right ] left [4 {} #righ]} } \[ \]} {}

Bước lặp k=2

x 1 x 2 x 5 righ 4 1 4 righ x N 2 = 0 righ x B 2 = x 2 = size 12{x rSup { size 8{2} } =alignl { stack { left [x rSub { size 8{B rSub { size 6{2} } } } =alignl { stack {left [x rSub {1} {} # right ]left [ size 12{x rSub {2} } {} # right ]left [ size 12{x rSub {5} } {} # righ]} } size 12{ \[ \] }= {overline {b}} rSub {2} size 12{ {}=alignl { stack {left [4 {} # right ]left [1 {} # right ]left [4 {} # righ]} } \[ \] } {} #right ] left [x rSub {N rSub { size 6{2} } } size 12{ {}=0} {} #righ]} } \[ \]} {}

= 2 1 0 4 1 4 righ z ( x 2 ) = c B 2 T b ¯ 2 size 12{z \( x rSup { size 8{2} } \) =c rSub { size 8{B rSub { size 6{2} } } } rSup {T} {overline { size 12{b} }} rSub {2} size 12{ {}= left [2" 1 0" right ] alignl { stack {left [4 {} # right ]left [1 {} # right ]left [4 {} # righ]} } \[ \] =9}} {}

c ¯ 2 T = c T c B 2 T A ¯ 2 = 2 1 0 0 0 2 1 0 size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{2} } rSup { size 8{T} } =c rSup { size 8{T} } - c rSub { size 8{B rSub { size 6{2} } } } rSup {T} {overline { size 12{A} }} rSub {2} size 12{ {}= left [2" 1 0 0 0" right ] - left ["2 1 0" right ]}} {} 1 0 2 3 1 3 0 0 1 - 1 3 1 3 0 0 0 4 3 - 1 3 1 righ size 12{ alignl { stack { left [1" 0 " { {2} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0 " {} #right ] left ["0 1 -" { {1} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0" {} #right ] left [0" 0 " { {4} over {3} } " -" { {1} over {3} } " 1" {} #righ]} } \[ \]} {}

= [ 0 0 -1 -1 0 ] : thoả dấu hiệu tối ưu.

Vậy kết quả của bài toán là :

. Phương án tối ưu x = x2 = 4 1 0 0 4 righ size 12{alignl { stack { left [4 {} #right ] left [1 {} #right ] left [0 {} #right ] left [0 {} #right ] left [4 {} #righ]} } \[ \]} {}

. Giá trị hàm mục tiêu z(x) = 9

Phép tính trên dòng - bảng đơn hình

Các bước thực hiện giải thuật đơn hình cải tiến được trình bày lần lượt trong các bảng, gọi là bảng đơn hình. Trong thực hành, để cập nhật những giá trị mới ta có thể làm như sau :

. Tìm pivot.

. Chia dòng chứa pivot cho pivot.

. Khử các phần tử trên cột chứa pivot.

. Tính dấu hiệu tối ưu.

. Tính giá trị hàm mục tiêu .

c B 0 size 12{c rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } } {} i B 0 size 12{i rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } } {} x 1 size 12{x rSub { size 8{1} } } {} x 2 size 12{x rSub { size 8{2} } } {} x 3 size 12{x rSub { size 8{3} } } {} x 4 size 12{x rSub { size 8{4} } } {} x 5 size 12{x rSub { size 8{5} } } {} b ¯ 0 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{0} } } {}
0 3 1 -1 1 0 0 3
0 4 1 2 0 1 0 6
0 5 -1 2 0 0 1 2
c T size 12{c rSup { size 8{T} } } {} 2 1 0 0 0 z(x0)
c ¯ 0 T size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{0} } rSup { size 8{T} } } {} 2 1 0 0 0 0
c B 1 size 12{c rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } } {} i B 1 size 12{i rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } } {} x 1 size 12{x rSub { size 8{1} } } {} x 2 size 12{x rSub { size 8{2} } } {} x 3 size 12{x rSub { size 8{3} } } {} x 4 size 12{x rSub { size 8{4} } } {} x 5 size 12{x rSub { size 8{5} } } {} b ¯ 1 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{1} } } {}
2 1 1 -1 1 0 0 3
0 4 0 3 -1 1 0 3
0 5 0 1 1 0 1 5
c T size 12{c rSup { size 8{T} } } {} 2 1 0 0 0 z(x1)
c ¯ 1 T size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{1} } rSup { size 8{T} } } {} 0 3 -2 0 0 6
c B 2 size 12{c rSub { size 8{B rSub { size 6{2} } } } } {} i B 2 size 12{i rSub { size 8{B rSub { size 6{2} } } } } {} x 1 size 12{x rSub { size 8{1} } } {} x 2 size 12{x rSub { size 8{2} } } {} x 3 size 12{x rSub { size 8{3} } } {} x 4 size 12{x rSub { size 8{4} } } {} x 5 size 12{x rSub { size 8{5} } } {} b ¯ 2 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{2} } } {}
2 1 1 0 2 3 size 12{ { {2} over {3} } } {} 1 3 size 12{ { {1} over {3} } } {} 0 4
1 2 0 1 1 3 size 12{ - { {1} over {3} } } {} 1 3 size 12{ { {1} over {3} } } {} 0 1
0 5 0 0 4 3 size 12{ { {4} over {3} } } {} 1 3 size 12{ - { {1} over {3} } } {} 1 4
c T size 12{c rSup { size 8{T} } } {} 2 1 0 0 0 z(x2)
c ¯ 2 T size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{2} } rSup { size 8{T} } } {} 0 0 -1 -1 0 9

Phương pháp biến giả cải biên

Bài toán cải biên

a- Cải biên bài toán quy hoạch tuyến tính

Người ta có thể biến đổi một bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc thành dạng chuẩn bằng cách cộng một cách phù hợp vào vế trái của ràng buộc i một biến giả xn+i  0 để làm xuất hiện ma trận đơn vị. Vì các biến giả cải biên có ảnh hưởng đến hàm mục tiêu nên cũng sẽ có sự cải biên hàm mục tiêu.

Vậy, người ta có thể biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, gọi là bài toán xuất phát, thành bài toán dạng chuẩn, gọi là bài toán cải biên (mở rộng)

Ví dụ :

Biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây thành dạng chuẩn

max z ( x ) = 2x 1 + x 2 + x 3 x 4 x 1 + 5x 2 + 5x 4 = 25 4x 2 x 3 + 6x 4 = 18 3x 2 + 8x 4 = 28 x j 0 ( j = 1,2,3,4 ) { { alignl { stack { size 12{"max" z \( x \) =2x rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} } - x rSub { size 8{4} } } {} #alignl { stack { left lbrace x rSub { size 8{1} } +5x rSub { size 8{2} } +5x rSub { size 8{4} } ="25" {} #right none left lbrace - 4x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{3} } +6x rSub { size 8{4} } ="18" {} # right none left lbrace 3x rSub { size 8{2} } +8x rSub { size 8{4} } ="28" {} #right no } } lbrace {} # x rSub { size 8{j} } " ">= "0 " \( j=1,2,3,4 \) {} } } {}

Bài toán xuất phát có các biến, ma trận ràng buộc và chi phí :

1 5 0 5 0 -4 -1 6 0 3 0 8 righ x T = [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] A = alignl { stack { size 12{x rSup { size 8{T} } = \[ x rSub { size 8{1} } " x" rSub { size 8{2} } " x" rSub { size 8{3} } " x" rSub { size 8{4} } \]} {} # A=" "alignl { stack {left [1" 5 0 5" {} # right ]left ["0 -4 -1 6" {} # right ]left ["0 3 0 8" {} # righ]} } \[ \] {} #c rSup { size 8{T} } = \[ 2" 1 1 -1" \] {}} } {}

Bằng cách thêm biến giả x5, x6 lần lượt vào ràng buộc 2 và 3 . Ta được bài toán cải biên :

max { z ' ( x ) = 2x 1 + x 2 + x 3 x 4 M ( x 5 + x 6 ) x 1 + 5x 2 + 5x 4 = 25 4x 2 x 3 + 6x 4 + x 5 = 18 3x 2 + 8x 4 + x 6 = 28 x j 0 ( j = 1,2,3,4,5,6 ) { { alignl { stack { size 12{"max"" {" ital {z}} sup { ' } \( x \) =2x rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} } - x rSub { size 8{4} } - M \( x rSub { size 8{5} } +x rSub { size 8{6} } \) } {} #alignl { stack { left lbrace x rSub { size 8{1} } +5x rSub { size 8{2} } +5x rSub { size 8{4} } ="25" {} #right none left lbrace - 4x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{3} } +6x rSub { size 8{4} } +x rSub { size 8{5} } ="18" {} # right none left lbrace 3x rSub { size 8{2} } +8x rSub { size 8{4} } +x rSub { size 8{6} } ="28" {} #right no } } lbrace {} # x rSub { size 8{j} }>= "0 " \( j=1,2,3,4,5,6 \) {} } } {}

Questions & Answers

what are the products of Nano chemistry?
Maira Reply
There are lots of products of nano chemistry... Like nano coatings.....carbon fiber.. And lots of others..
learn
Even nanotechnology is pretty much all about chemistry... Its the chemistry on quantum or atomic level
learn
Preparation and Applications of Nanomaterial for Drug Delivery
Hafiz Reply
Application of nanotechnology in medicine
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
Any one who tell me about Preparation and application of Nanomaterial for drug Delivery
Hafiz
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Quy hoạch tuyến tính. OpenStax CNX. Aug 08, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10903/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Quy hoạch tuyến tính' conversation and receive update notifications?

Ask