<< Chapter < Page Chapter >> Page >

- Ngược lại thì sang bước (c)

c- Cập nhật các giá trị mới :

.Tính pivot

.Tính ma trận chuyển cơ sở k

.Tính A ¯ k + 1 = μ k A ¯ k size 12{ {overline {A}} rSub { size 8{k+1} } =μ rSup { size 8{k} } {overline {A}} rSub { size 8{k} } } {}

.Tính b ¯ k + 1 = μ k b ¯ k size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{k+1} } =μ rSup { size 8{k} } {overline {b}} rSub { size 8{k} } } {}

.Tăng số lần lặp k=k+1.

Quay về bước b

Ví dụ

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây bằng phương pháp đơn hình cải tiến :

max z ( x ) = 2x 1 + x 2 x 1 x 2 + x 3 = 3 x 1 + 2x 2 + x 4 = 6 x 1 + 2x 2 + x 5 = 2 x j 0 ( j = 1,2,3,4,5 ) { { alignl { stack { size 12{"max z" \( x \) ="2x" rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } } {} #alignl { stack { left lbrace x rSub { size 8{1} } - x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} } =3 {} #right none left lbrace x rSub { size 8{1} } +"2x" rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{4} } =6 {} # right none left lbrace - x rSub { size 8{1} } +"2x" rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{5} } =2 {} #right no } } lbrace {} # x rSub { size 8{j} }>= "0 " \( j="1,2,3,4,5" \) {} } } {}

Bước khởi tạo

A ¯ 0 = A = 1 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 b ¯ 0 = 3 6 2 N 0 B 0 alignl { stack { size 12{ {overline {A}} rSub { size 8{0} } =A= left [ matrix {1 {} # - 1 {} # \lline {} # 1 {} # 0 {} # 0 {} ## 1 {} # 2 {} # \lline {} # 0 {} # 1 {} # 0 {} ##- 1 {} # 2 {} # \lline {} # 0 {} # 0 {} # 1{} } right ]" " {overline {b}} rSub { size 8{0} } = left [ matrix { 3 {} ##6 {} ## 2} right ]} {} #" N" rSub { size 8{0} } " B" rSub { size 8{0} } {} } } {}

c T = 2 1 0 0 0 c N 0 T c B 0 T alignl { stack { size 12{c rSup { size 8{T} } = left [ matrix {2 {} # 1 {} # \lline {} # 0 {} # 0 {} # 0{} } right ]} {} # " c" rSub { size 8{N rSub { size 6{0} } } } rSup {T} size 12{" c" rSub {B rSub { size 6{0} } } rSup {T} } {}} } {}

Bước lặp k=0

x 3 x 4 x 5 righ 3 6 2 righ x N 0 = 0 righ x B 0 = x 0 = size 12{x rSup { size 8{0} } =alignl { stack { left [x rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } =alignl { stack {left [x rSub {3} {} # right ]left [ size 12{x rSub {4} } {} # right ]left [ size 12{x rSub {5} } {} # righ]} } size 12{ \[ \] }= {overline {b}} rSub {0} size 12{ {}=alignl { stack {left [3 {} # right ]left [6 {} # right ]left [2 {} # righ]} } \[ \] } {} #right ] left [x rSub {N rSub { size 6{0} } } size 12{ {}=0} {} #righ]} } \[ \]} {}

= 0 0 0 3 6 2 righ z ( x 0 ) = c B 0 T b ¯ 0 size 12{z \( x rSup { size 8{0} } \) =c rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } rSup {T} {overline { size 12{b} }} rSub {0} size 12{ {}= left [0" 0 0" right ] alignl { stack {left [3 {} # right ]left [6 {} # right ]left [2 {} # righ]} } \[ \] =0}} {}

= 2 1 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 righ c ¯ 0 T = c T c B 0 T A ¯ 0 size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{0} } rSup { size 8{T} } =c rSup { size 8{T} } - c rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } rSup {T} {overline { size 12{A} }} rSub {0} size 12{ {}= left [2" 1 0 0 0" right ] - left ["0 0 0" right ]alignl { stack { left [" "1" -1 1 0 0 " {} #right ] left [" 1 2 0 1 0" {} #right ] left [ - 1" 2 0 0 1" {} #righ]} } \[ \]= left [2" 1 0 0 0" right ]}} {}

1 1 1 righ [ ] 3 6 2 righ size 12{alignl { stack { left [" "1 {} #right ] left [" "1 {} #right ] left [ - 1 {} #righ]} } \[ \]alignl { stack { left [3 {} #right ] left [6 {} #right ] left [2 {} #righ]} } \[ \]} {} suy ra pivot : a ¯ 11 = 1 size 12{ {overline {a}} rSub { size 8{"11"} } =1} {}

μ 0 = 1 0 0 1 1 0 1 0 1 size 12{μ rSup { size 8{0} } = left [ matrix { " 1" {} # 0 {} # 0 {} ##- 1 {} # 1 {} # 0 {} ## " 1" {} # 0 {} # 1{}} right ]} {}

A ¯ 1 = μ 0 A ¯ 0 = size 12{ {overline {A}} rSub { size 8{1} } =μ rSup { size 8{0} } {overline {A}} rSub { size 8{0} } ={}} {} 1 0 0 1 1 0 1 0 1 size 12{ left [ matrix { " 1" {} # 0 {} # 0 {} ##- 1 {} # 1 {} # 0 {} ## " 1" {} # 0 {} # 1{}} right ]} {} 1 -1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 righ size 12{ alignl { stack { left [" "1" -1 1 0 0 " {} #right ] left [" 1 2 0 1 0" {} #right ] left [ - 1" 2 0 0 1" {} #righ]} } \[ \]} {} = 1 -1 1 0 0 0 3 -1 1 0 0 1 1 0 1 righ size 12{alignl { stack { left [1" -1 1 0 0" {} #right ] left ["0 3 -1 1 0" {} #right ] left ["0 1 1 0 1" {} #righ]} } \[ \]} {}

b ¯ 1 = μ 0 b ¯ 0 = size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{1} } =μ rSup { size 8{0} } {overline {b}} rSub { size 8{0} } ={}} {} 1 0 0 1 1 0 1 0 1 size 12{ left [ matrix { " 1" {} # 0 {} # 0 {} ##- 1 {} # 1 {} # 0 {} ## " 1" {} # 0 {} # 1{}} right ]} {} 3 6 2 righ size 12{alignl { stack { left [3 {} #right ] left [6 {} #right ] left [2 {} #righ]} } \[ \]} {} = 3 3 5 righ size 12{alignl { stack { left [3 {} #right ] left [3 {} #right ] left [5 {} #righ]} } \[ \]} {}

Bước lặp k=1

x 1 x 4 x 5 righ 3 3 5 righ x N 1 = 0 righ x B 1 = x 1 = size 12{x rSup { size 8{1} } =alignl { stack { left [x rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } =alignl { stack {left [x rSub {1} {} # right ]left [ size 12{x rSub {4} } {} # right ]left [ size 12{x rSub {5} } {} # righ]} } size 12{ \[ \] }= {overline {b}} rSub {1} size 12{ {}=alignl { stack {left [3 {} # right ]left [3 {} # right ]left [5 {} # righ]} } \[ \] } {} #right ] left [x rSub {N rSub { size 6{1} } } size 12{ {}=0} {} #righ]} } \[ \]} {}

= 2 0 0 3 3 5 righ z ( x 1 ) = c B 1 T b ¯ 1 size 12{z \( x rSup { size 8{1} } \) =c rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } rSup {T} {overline { size 12{b} }} rSub {1} size 12{ {}= left [2" 0 0" right ] alignl { stack {left [3 {} # right ]left [3 {} # right ]left [5 {} # righ]} } \[ \] =6}} {}

c ¯ 1 T = c T c B 1 T A ¯ 1 = 2 1 0 0 0 2 0 0 size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{1} } rSup { size 8{T} } =c rSup { size 8{T} } - c rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } rSup {T} {overline { size 12{A} }} rSub {1} size 12{ {}= left [2" 1 0 0 0" right ] - left ["2 0 0" right ]}} {} 1 -1 1 0 0 0 3 -1 1 0 0 1 1 0 1 righ size 12{alignl { stack { left [1" -1 1 0 0" {} #right ] left ["0 3 -1 1 0" {} #right ] left ["0 1 1 0 1" {} #righ]} } \[ \]} {}

= [ 0 3 -2 0 0 ]

1 3 1 righ [ ] 3 3 5 righ size 12{alignl { stack { left [-1 {} #right ] left [" 3" {} #right ] left [ 1 {} #righ]} } \[ \]alignl { stack { left [3 {} #right ] left [3 {} #right ] left [5 {} #righ]} } \[ \]} {} suy ra pivot : a ¯ 22 = 3 size 12{ {overline {a}} rSub { size 8{"22"} } =3} {}

μ 1 = 1 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 1 size 12{μ rSup { size 8{1} } = left [ matrix { 1 {} # " " { {1} over {3} } {} # 0 {} ##0 {} # " " { {1} over {3} } {} # 0 {} ## 0 {} # - { {1} over {3} } {} # 1{}} right ]} {}

A ¯ 2 = μ 1 A ¯ 1 = size 12{ {overline {A}} rSub { size 8{2} } =μ rSup { size 8{1} } {overline {A}} rSub { size 8{1} } ={}} {} 1 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 1 size 12{ left [ matrix {1 {} # " " { {1} over {3} } {} # 0 {} ## 0 {} # " " { {1} over {3} } {} # 0 {} ##0 {} # - { {1} over {3} } {} # 1{} } right ]} {} 1 -1 1 0 0 0 3 -1 1 0 0 1 1 0 1 righ size 12{alignl { stack { left [1" -1 1 0 0" {} #right ] left ["0 3 -1 1 0" {} #right ] left ["0 1 1 0 1" {} #righ]} } \[ \]} {} = 1 0 2 3 1 3 0 0 1 - 1 3 1 3 0 0 0 4 3 - 1 3 1 righ size 12{ alignl { stack { left [1" 0 " { {2} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0 " {} #right ] left ["0 1 -" { {1} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0" {} #right ] left [0" 0 " { {4} over {3} } " -" { {1} over {3} } " 1" {} #righ]} } \[ \]} {}

b ¯ 2 = μ 1 b ¯ 1 = size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{2} } =μ rSup { size 8{1} } {overline {b}} rSub { size 8{1} } ={}} {} 1 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 1 size 12{ left [ matrix { 1 {} # " " { {1} over {3} } {} # 0 {} ##0 {} # " " { {1} over {3} } {} # 0 {} ## 0 {} # - { {1} over {3} } {} # 1{}} right ]} {} 3 3 5 righ size 12{alignl { stack { left [3 {} #right ] left [3 {} #right ] left [5 {} #righ]} } \[ \]} {} = 4 1 4 righ size 12{alignl { stack { left [4 {} #right ] left [1 {} #right ] left [4 {} #righ]} } \[ \]} {}

Bước lặp k=2

x 1 x 2 x 5 righ 4 1 4 righ x N 2 = 0 righ x B 2 = x 2 = size 12{x rSup { size 8{2} } =alignl { stack { left [x rSub { size 8{B rSub { size 6{2} } } } =alignl { stack {left [x rSub {1} {} # right ]left [ size 12{x rSub {2} } {} # right ]left [ size 12{x rSub {5} } {} # righ]} } size 12{ \[ \] }= {overline {b}} rSub {2} size 12{ {}=alignl { stack {left [4 {} # right ]left [1 {} # right ]left [4 {} # righ]} } \[ \] } {} #right ] left [x rSub {N rSub { size 6{2} } } size 12{ {}=0} {} #righ]} } \[ \]} {}

= 2 1 0 4 1 4 righ z ( x 2 ) = c B 2 T b ¯ 2 size 12{z \( x rSup { size 8{2} } \) =c rSub { size 8{B rSub { size 6{2} } } } rSup {T} {overline { size 12{b} }} rSub {2} size 12{ {}= left [2" 1 0" right ] alignl { stack {left [4 {} # right ]left [1 {} # right ]left [4 {} # righ]} } \[ \] =9}} {}

c ¯ 2 T = c T c B 2 T A ¯ 2 = 2 1 0 0 0 2 1 0 size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{2} } rSup { size 8{T} } =c rSup { size 8{T} } - c rSub { size 8{B rSub { size 6{2} } } } rSup {T} {overline { size 12{A} }} rSub {2} size 12{ {}= left [2" 1 0 0 0" right ] - left ["2 1 0" right ]}} {} 1 0 2 3 1 3 0 0 1 - 1 3 1 3 0 0 0 4 3 - 1 3 1 righ size 12{ alignl { stack { left [1" 0 " { {2} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0 " {} #right ] left ["0 1 -" { {1} over {3} } " " { {1} over {3} } " 0" {} #right ] left [0" 0 " { {4} over {3} } " -" { {1} over {3} } " 1" {} #righ]} } \[ \]} {}

= [ 0 0 -1 -1 0 ] : thoả dấu hiệu tối ưu.

Vậy kết quả của bài toán là :

. Phương án tối ưu x = x2 = 4 1 0 0 4 righ size 12{alignl { stack { left [4 {} #right ] left [1 {} #right ] left [0 {} #right ] left [0 {} #right ] left [4 {} #righ]} } \[ \]} {}

. Giá trị hàm mục tiêu z(x) = 9

Phép tính trên dòng - bảng đơn hình

Các bước thực hiện giải thuật đơn hình cải tiến được trình bày lần lượt trong các bảng, gọi là bảng đơn hình. Trong thực hành, để cập nhật những giá trị mới ta có thể làm như sau :

. Tìm pivot.

. Chia dòng chứa pivot cho pivot.

. Khử các phần tử trên cột chứa pivot.

. Tính dấu hiệu tối ưu.

. Tính giá trị hàm mục tiêu .

c B 0 size 12{c rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } } {} i B 0 size 12{i rSub { size 8{B rSub { size 6{0} } } } } {} x 1 size 12{x rSub { size 8{1} } } {} x 2 size 12{x rSub { size 8{2} } } {} x 3 size 12{x rSub { size 8{3} } } {} x 4 size 12{x rSub { size 8{4} } } {} x 5 size 12{x rSub { size 8{5} } } {} b ¯ 0 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{0} } } {}
0 3 1 -1 1 0 0 3
0 4 1 2 0 1 0 6
0 5 -1 2 0 0 1 2
c T size 12{c rSup { size 8{T} } } {} 2 1 0 0 0 z(x0)
c ¯ 0 T size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{0} } rSup { size 8{T} } } {} 2 1 0 0 0 0
c B 1 size 12{c rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } } {} i B 1 size 12{i rSub { size 8{B rSub { size 6{1} } } } } {} x 1 size 12{x rSub { size 8{1} } } {} x 2 size 12{x rSub { size 8{2} } } {} x 3 size 12{x rSub { size 8{3} } } {} x 4 size 12{x rSub { size 8{4} } } {} x 5 size 12{x rSub { size 8{5} } } {} b ¯ 1 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{1} } } {}
2 1 1 -1 1 0 0 3
0 4 0 3 -1 1 0 3
0 5 0 1 1 0 1 5
c T size 12{c rSup { size 8{T} } } {} 2 1 0 0 0 z(x1)
c ¯ 1 T size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{1} } rSup { size 8{T} } } {} 0 3 -2 0 0 6
c B 2 size 12{c rSub { size 8{B rSub { size 6{2} } } } } {} i B 2 size 12{i rSub { size 8{B rSub { size 6{2} } } } } {} x 1 size 12{x rSub { size 8{1} } } {} x 2 size 12{x rSub { size 8{2} } } {} x 3 size 12{x rSub { size 8{3} } } {} x 4 size 12{x rSub { size 8{4} } } {} x 5 size 12{x rSub { size 8{5} } } {} b ¯ 2 size 12{ {overline {b}} rSub { size 8{2} } } {}
2 1 1 0 2 3 size 12{ { {2} over {3} } } {} 1 3 size 12{ { {1} over {3} } } {} 0 4
1 2 0 1 1 3 size 12{ - { {1} over {3} } } {} 1 3 size 12{ { {1} over {3} } } {} 0 1
0 5 0 0 4 3 size 12{ { {4} over {3} } } {} 1 3 size 12{ - { {1} over {3} } } {} 1 4
c T size 12{c rSup { size 8{T} } } {} 2 1 0 0 0 z(x2)
c ¯ 2 T size 12{ {overline {c}} rSub { size 8{2} } rSup { size 8{T} } } {} 0 0 -1 -1 0 9

Phương pháp biến giả cải biên

Bài toán cải biên

a- Cải biên bài toán quy hoạch tuyến tính

Người ta có thể biến đổi một bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc thành dạng chuẩn bằng cách cộng một cách phù hợp vào vế trái của ràng buộc i một biến giả xn+i  0 để làm xuất hiện ma trận đơn vị. Vì các biến giả cải biên có ảnh hưởng đến hàm mục tiêu nên cũng sẽ có sự cải biên hàm mục tiêu.

Vậy, người ta có thể biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, gọi là bài toán xuất phát, thành bài toán dạng chuẩn, gọi là bài toán cải biên (mở rộng)

Ví dụ :

Biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây thành dạng chuẩn

max z ( x ) = 2x 1 + x 2 + x 3 x 4 x 1 + 5x 2 + 5x 4 = 25 4x 2 x 3 + 6x 4 = 18 3x 2 + 8x 4 = 28 x j 0 ( j = 1,2,3,4 ) { { alignl { stack { size 12{"max" z \( x \) =2x rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} } - x rSub { size 8{4} } } {} #alignl { stack { left lbrace x rSub { size 8{1} } +5x rSub { size 8{2} } +5x rSub { size 8{4} } ="25" {} #right none left lbrace - 4x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{3} } +6x rSub { size 8{4} } ="18" {} # right none left lbrace 3x rSub { size 8{2} } +8x rSub { size 8{4} } ="28" {} #right no } } lbrace {} # x rSub { size 8{j} } " ">= "0 " \( j=1,2,3,4 \) {} } } {}

Bài toán xuất phát có các biến, ma trận ràng buộc và chi phí :

1 5 0 5 0 -4 -1 6 0 3 0 8 righ x T = [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] A = alignl { stack { size 12{x rSup { size 8{T} } = \[ x rSub { size 8{1} } " x" rSub { size 8{2} } " x" rSub { size 8{3} } " x" rSub { size 8{4} } \]} {} # A=" "alignl { stack {left [1" 5 0 5" {} # right ]left ["0 -4 -1 6" {} # right ]left ["0 3 0 8" {} # righ]} } \[ \] {} #c rSup { size 8{T} } = \[ 2" 1 1 -1" \] {}} } {}

Bằng cách thêm biến giả x5, x6 lần lượt vào ràng buộc 2 và 3 . Ta được bài toán cải biên :

max { z ' ( x ) = 2x 1 + x 2 + x 3 x 4 M ( x 5 + x 6 ) x 1 + 5x 2 + 5x 4 = 25 4x 2 x 3 + 6x 4 + x 5 = 18 3x 2 + 8x 4 + x 6 = 28 x j 0 ( j = 1,2,3,4,5,6 ) { { alignl { stack { size 12{"max"" {" ital {z}} sup { ' } \( x \) =2x rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} } - x rSub { size 8{4} } - M \( x rSub { size 8{5} } +x rSub { size 8{6} } \) } {} #alignl { stack { left lbrace x rSub { size 8{1} } +5x rSub { size 8{2} } +5x rSub { size 8{4} } ="25" {} #right none left lbrace - 4x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{3} } +6x rSub { size 8{4} } +x rSub { size 8{5} } ="18" {} # right none left lbrace 3x rSub { size 8{2} } +8x rSub { size 8{4} } +x rSub { size 8{6} } ="28" {} #right no } } lbrace {} # x rSub { size 8{j} }>= "0 " \( j=1,2,3,4,5,6 \) {} } } {}

Questions & Answers

Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
there is no specific books for beginners but there is book called principle of nanotechnology
NANO
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
carbon nanotubes has various application in fuel cells membrane, current research on cancer drug,and in electronics MEMS and NEMS etc
NANO
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Quy hoạch tuyến tính. OpenStax CNX. Aug 08, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10903/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Quy hoạch tuyến tính' conversation and receive update notifications?

Ask