<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Notasie

Khan academy video oor getalpatrone

Die n d e -term van 'n reeks word geskryf as a n . So byvoorbeeld, is die eerste term van 'n reeks a 1 en die tiende term van 'n reeks is a 10 . ʼn Reeks hoef nie ʼn patroon te volg nie, maar wanneer dit wel 'n patroon het, kan ons dit gewoonlik as ʼn formule skryf om die n d e -term, a n , te bereken. In die reeks

1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; ...

waar die reeks bestaan uit die vierkante van heelgetalle, is die formule vir die n de -term:

a n = n 2

Jy kan sien dat dit reg is deur te kyk na:

a 1 = 1 2 = 1 a 2 = 2 2 = 4 a 3 = 3 2 = 9 a 4 = 4 2 = 16 a 5 = 5 2 = 25 ...

Dus, deur [link] te gebruik, kan ons ʼn patroon van die vierkante van heelgetalle vorm.

Ons kan ook 'n konstante verskil tussen die terme bepaal vir sekere patrone.

Konstante verskil
Die konstante verskil is die verskil tussen opeenvolgende terme en word aagedui met die letter d.

Byvoorbeeld, beskou die reeks: 10 ; 7 ; 4 ; 1 ; ... . Om die gemeenskaplike verskil te vind, trek ons die betrokke term af van die volgende term.

7 - 10 = - 3 4 - 7 = - 3 1 - 4 = - 3

Soos voorheen, studeer jy en 3 vriende wiskunde, en julle sit rondom ʼn vierkantige tafel. ʼn Paar minute later besluit 2 ander vriende om by julle aan te sluit en wil kom sit en julle sit ʼn ekstra tafel by sodat al 6 van julle kan sit. Weereens besluit nog 2 van jou vriende om by julle aan te sluit en julle skuif ʼn derde tafel sodat daar genoeg plek is vir 8 van julle soos in die prentjie:

Twee ekstra mense kan sit vir elke tafel wat hulle bysit.

Vind ʼn wiskundige uitdrukking vir die getal mense wat om n tafels kan sit. Gebruik dan die algemene formule om te bepaal hoeveel mense om 12 tafels kan sit en hoeveel tafels is nodig sodat 20 mense kan sit.

  1. Aantal tafels , n Aantal mense wat kan sit Formule
    1 4 = 4 = 4 + 2 · ( 0 )
    2 4 + 2 = 6 = 4 + 2 · ( 1 )
    3 4 + 2 + 2 = 8 = 4 + 2 · ( 2 )
    4 4 + 2 + 2 + 2 = 10 = 4 + 2 · ( 3 )
                   
    n 4 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 4 + 2 · ( n - 1 )
  2. Die aantal mense wat rondom n tafels kan sit, is:

    a n = 4 + 2 · ( n - 1 )
  3. Deur te kyk na die voorbeeld van die vorige gedeelte, bereken hoeveel mense kan rondom 12 tafels sit. Ons soek vir a 12 , dit is, waar n = 12 :

    a n = a 1 + d · ( n - 1 ) a 12 = 4 + 2 · ( 12 - 1 ) = 4 + 2 ( 11 ) = 4 + 22 = 26
  4. a n = a 1 + d · ( n - 1 ) 20 = 4 + 2 · ( n - 1 ) 20 - 4 = 2 · ( n - 1 ) 16 ÷ 2 = n - 1 8 + 1 = n n = 9
  5. 26 mense kan rondom 12 tafels sit en 9 tafels is nodig sodat 20 mense kan sit.

Dit is ook belangrik om te let op die verskil tussen n en a n : n kan gesien word as 'n plekhouer, terwyl a n die waarde is by die plek wat "gehou" word deur n . Soos in ons "Studeertafel" voorbeeld, kan 4 mense rondom die eerste tafel (Tabel 1) sit. Dus, by plek n = 1 , is die waarde van a 1 = 4 ensovoorts:

n 1 2 3 4 ...
a n 4 6 8 10 ...

Ondersoek : algemene formule

  1. Vind die algemene formule vir die volgende reekse en vind dan a 10 , a 50 en a 100 :
    1. 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; ...
    2. 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; ...
    3. 2 ; - 1 ; - 4 ; - 7 ; - 10 ; ...
  2. Hieronder is die algemene formules gegee vir 'n paar reekse. Bereken die terme wat weggelaat is.
    1. 0 ; 3 ; . . . ; 15 ; 24        n 2 - 1
    2. 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; . . . ; - 2        - n + 4
    3. - 11 ; . . . ; - 7 ; . . . ; - 3        - 13 + 2 n

Patrone en bewerings

Khan academy video oor getalpatrone - 2

In wiskunde is 'n bewering 'n wiskundige stelling wat lyk of dit waar is, maar wat nog nie formeel as waar bewys is nie. 'n Bewering kan gesien word as 'n intelligente raaiskoot of idee wat moontlik 'n patroon kan wees.

Byvoorbeeld: Maak 'n bewering oor die getal wat sal volg, gebaseer op die patroon 2 ; 6 ; 11 ; 17 : . . .

Die getalle vermeerder met 4, dan 5, dan 6.

Bewering: Die volgende getal sal vermeerder met 7. So ons verwag dat die volgende getal 17 + 7 = 24 sal wees.

Beskou die volgende patroon:

1 2 + 1 = 2 2 - 2 2 2 + 2 = 3 2 - 3 3 2 + 3 = 4 2 - 4 4 2 + 4 = 5 2 - 5
  1. Voeg nog twee rye by aan die die einde van die patroon.
  2. Maak 'n bewering oor die patroon en druk die bewering uit in woorde.
  3. Veralgemeen die bewering vir die patroon (met ander woorde, beskryf die bewering algebraïes).
  4. Bewys dat die bewering waar is.
  1. 5 2 + 5 = 6 2 - 6 6 2 + 6 = 7 2 - 7
  2. As 'n getal gekwadreer word en die getal dan weer by sy kwadraat getel word, is die resultaat dieselfde as om die volgende getal te kwadreer en dan die getal af te trek van die kwadraat.

  3. Ons het besluit om x hier te gebruik. Jy kan enige letter kies om die patroon te veralgemeen.

    x 2 + x = ( x + 1 ) 2 - ( x + 1 )
  4. Linkerkant x 2 + x
    Regterkant : ( x + 1 ) 2 - ( x + 1 )
    Regterkant = x 2 + 2 x + 1 - x - 1 = x 2 + x = Linkerkant Dus x 2 + x = ( x + 1 ) 2 - ( x + 1 )

Opsomming

  • Daar is 'n hele paar spesiale reekse van getalle:
    • Driehoeksgetalle 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; 36 ; 45 ; . . .
    • Vierkantsgetalle 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; . . .
    • Derdemagsgetalle 1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125 ; 216 ; 343 ; 512 ; 729 ; . . .
    • Fibonacci Getalle 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; . . .
  • Die algemene formule is a n = a 1 + d · ( n - 1 ) waar d die konstante verskil is tussen die verskillende terme en a n is die n de -term. Ons kan 'n algemene formule uitwerk vir elke getalpatroon en dit gebruik om te voorspel wat enige getal in die patroon sal wees.

Oefeninge

  1. Vind die n de -term vir: 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; ...
  2. Vind die algemene term vir die volgende reekse:
    1. - 2 ; 1 ; 4 ; 7 ; ...
    2. 11 ; 15 ; 19 ; 23 ; ...
    3. reeks met a 3 = 7 en a 8 = 15
    4. reeks met a 4 = - 8 en a 10 = 10
  3. Die sitplekke in 'n gedeelte van 'n sportstadion kan so gerangskik word dat die eerste ry 15 sitplekke het, die tweede ry 19 sitplekke, die derde ry 23 sitplekke, ens. Bereken hoeveel sitpleke is daar in ry 25.
  4. 'n Enkele vierkant kan gemaak word van 4 vuurhoutjies. Om twee vierkante langs mekaar te maak het jy 7 vuurhoutjies nodig, om drie vierkante langs mekaar in 'n ry te maak het jy 10 vuurhoutjies nodig. Bepaal:
    1. die eerste term
    2. die konstante verskil
    3. die algemene formule
    4. hoeveel vuurhoutjies benodig word om 25 vierkante langs mekaar te maak
  5. Jy wil begin om geld te spaar, maar omdat jy dit nog nooit gedoen het nie, besluit jy om stadig te begin. Aan die einde van die eerste week sit jy R5 in jou bankrekening, aan die einde van die tweede week R10, en aan die einde van die derde week R15. Na hoeveel weke sit jy R50 in jou bankrekening?
  6. 'n Horisontale lyn kruis 'n tou op vier punte en deel die tou op in 5 dele, soos hieronder gewys word.
    As die tou 19 keer gekruis word deur ewewydige lyne en elke lyn kruis die tou vier keer op verskillende plekke, bereken in hoeveel dele die tou opgedeel word.

Questions & Answers

Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
there is no specific books for beginners but there is book called principle of nanotechnology
NANO
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
carbon nanotubes has various application in fuel cells membrane, current research on cancer drug,and in electronics MEMS and NEMS etc
NANO
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]. OpenStax CNX. Aug 04, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11328/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]' conversation and receive update notifications?

Ask