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0.2 3. ortogonalización gram-schmidt y teoría básica de las  (Page 2/2)

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s j = ∫ 0 T s ( t ) . U j ( t ) dt j = 1,2,3, . . . , N alignl { stack { size 12{s rSub { size 8{j} } = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s \( t \) "." U rSub { size 8{j} } \( t \) ital "dt"} } {} #j=1,2,3, "." "." "." ,N {} } } {}

Si lo vemos desde la perspectiva vectorial, el procedimiento será entonces el de obtener una representación de la señal en función de dos vectores en el plano. El estimado del vector original sería entonces la proyección de éste sobre el plano:

Ejemplo aplicado a vectores. ŝ(t) es el estimado de cada forma de onda original s(t) y e(t) sería la introducción de ruido de AWGN en el sistema.

Habiendo explicado la síntesis teórica de la ortogonalización, ¿Cómo podemos hallar las bases necesarias para representar las señales de nuestro sistema? Para ello deben seguirse estos pasos:

Supongamos que se da un conjunto de señales de energía s i (t) que se quieren representar por medio de bases U j en un intervalo de tiempo [0,T]:

Si ( t ) = ∑ i = 1 n s ij . U j ( t ) size 12{ ital "Si" \( t \) = Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{n} } {s rSub { size 8{ ital "ij"} } "." U rSub { size 8{j} } \( t \) } } {}

Las bases deben cumplir con el principio de ortonormalidad mencionado al principio:

∫ 0 T U j ( t ) . U k ( t ) dt = { 1 → j = k 0 → j ≠ k size 12{ Int rSub { size 8{0} } rSup { size 8{T} } {U rSub { size 8{j} } \( t \) "." U rSub { size 8{k} } \( t \) ital "dt"} = left lbrace matrix { 1 rightarrow j=k {} ##0 rightarrow j<>k } right none } {}

Entonces:

Paso 1: se fija sij = 0 exceptuando el primer valor: s11:

Elevamos toda la ecuación al cuadrado y la integramos en el intervalo [0,T]:

∫ 0 T s 1 ( t ) 2 dt = ∫ 0 T s 11 2 . U 1 2 ( t ) dt = ∫ 0 T s 11 2 . U 1 ( t ) . U 1 ( t ) dt size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { left [s rSub { size 8{1} } \( t \) right ] rSup { size 8{2} } ital "dt"} = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"11"} rSup { size 8{2} } } } "." U rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } \( t \) ital "dt"= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"11"} rSup { size 8{2} } } } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} {}

Por el principio de ortonormalidad:

Quedando s 1 (t) sólo en función de s 11 , por lo que ya se puede despejar:

∫ 0 t [ s 1 ( t ) ] 2 dt = s 11 size 12{ sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{t} } { \[ s rSub { size 8{1} } \( t \) \] rSup { size 8{2} } ital "dt"} } =s rSub { size 8{"11"} } } {}

Finalmente:

U 1 ( t ) = s 1 ( t ) s 11 size 12{U rSub { size 8{1} } \( t \) = { {s rSub { size 8{1} } \( t \) } over {s rSub { size 8{"11"} } } } } {}

Con esto obtenemos la primera base para representar nuestra señal. Para calcular U 2 (t), debemos restarle a s 2 (t) su proyección sobre U 1 (t); esto cumpliría con la condición de que la base sea ortogonal.

Paso 2: se fija sij=0 exceptuando los valores de s21 y s22:

Ecuación (a)

Multiplicamos la ecuación por U 1 (t) y la integramos en el intervalo [0,T]:

∫ 0 T s 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt = ∫ 0 T s 21 . U 1 ( t ) . U 1 ( t ) dt + ∫ 0 T s 22 . U 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} + Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"22"} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} } } {}

Quedando entonces:

∫ 0 T s 2 ( t ) . U 1 ( t ) dt = s 21 size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{2} } \( t \) "." U rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"=s rSub { size 8{"21"} } } } {}

La ecuación (a) podemos reordenarla así:

s 2 ( t ) − s 21 . U 1 ( t ) = s 22 U 2 ( t ) size 12{s rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } "." U rSub { size 8{1} } \( t \) =s rSub { size 8{"22"} } U rSub { size 8{2} } \( t \) } {}

Al igual que para el paso 1, elevamos toda la ecuación al cuadrado y la integramos en el intervalo [0,T], quedando como sigue:

∫ 0 T ( s 2 ( t ) − s 21 U 1 ( t ) ) 2 dt = ∫ 0 T s 22 2 U 2 . U 2 ( t ) size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { \( s rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) \) rSup { size 8{2} } ital "dt"} = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } {s rSub { size 8{"22"} rSup { size 8{2} } } U rSub { size 8{2} } "." U rSub { size 8{2} } \( t \) } } {}

Usando nuevamente el principio de ortonormalidad, nos queda S 22 en función de la señal S 2 , el coeficiente S 21 y la base U 1 :

s 22 = ∫ 0 T ( s 2 ( t ) − s 21 U 1 ( t ) ) 2 dt size 12{s rSub { size 8{"22"} } = sqrt { Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{T} } { \( s rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) \) rSup { size 8{2} } ital "dt"} } } {}

Finalmente, con la ecuación (a):

s 2 ( t ) = s 21 U 1 ( t ) + s 22 U 2 ( t ) ⇒ U 2 ( t ) = s 2 ( t ) − s 21 U 1 ( t ) s 22 alignl { stack { size 12{s rSub { size 8{2} } \( t \) =s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) +s rSub { size 8{"22"} } U rSub { size 8{2} } \( t \) } {} #{} # drarrow U rSub { size 8{2} } \( t \) = { { left [s rSub { size 8{2} } \( t \) - s rSub { size 8{"21"} } U rSub { size 8{1} } \( t \) right ]} over {s rSub { size 8{"22"} } } } {} } } {}

Se buscarán cuantas bases sean necesarias hasta el punto en el que Un=0. Se pudiera resumir este proceso de la siguiente forma:

Donde:

∥ X 1 ∥ = E 1 = ∫ − ∞ + ∞ X 1 2 ( t ) dt y ⟨ x ( t ) , y ( t ) ⟩ = ∫ x ( t ) y ( t ) dt alignl { stack { size 12{ ldline X rSub { size 8{1} } rdline = sqrt {E rSub { size 8{1} } } = sqrt { Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{+ infinity } } {X rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } \( t \) ital "dt"} } } {} #y {} # langle x \( t \) ,y \( t \) rangle = Int {x \( t \) y \( t \) ital "dt"} {}} } {}

Es importante resaltar que si el proceso de ortogonalización se inicia con una señal diferente a la señal s 1 (t), se obtendría un conjunto distinto de bases ortonormales pero igualmente representativa.

Constelación

Es la representación gráfica de cada señal s i (t) en función de las bases U i . Más adelante observaremos que los diagramas de constelación también sirven para representar los esquemas de modulación digital en el plano complejo. Cada punto perteneciente a la constelación corresponde a un símbolo de modulación.

Aquí consideraremos como ‘ejes’ las bases calculadas a partir de la Ortogonalización, es decir, Uj . El procedimiento es sencillo: sólo se debe representar con un punto a la(s) forma(s) de onda s i sobre el eje de la base. Por ejemplo: Supongamos que se tienen dos señales, que identifican una determinada codificación o modulación, y que pueden representarse con una sola base de acuerdo a las siguientes ecuaciones:

S 1 = V Tb . U 1 S 2 = − V Tb . U 1 alignl { stack { size 12{S rSub { size 8{1} } =V sqrt { ital "Tb"} "." U rSub { size 8{1} } } {} #S rSub { size 8{2} } = - V sqrt { ital "Tb"} "." U rSub { size 8{1} } {} } } {}

Como sólo se necesita una base para representar estas formas de onda, entonces se tendrá un ‘eje’ que es U 1 :

Ejemplo de constelación.

A partir de la constelación se puede obtener un parámetro fundamental que es la Energía . Si elevamos al cuadrado la distancia que existe entre el origen y un punto de la constelación obtendríamos la energía de la primera forma de onda S 1 :

Es 1 = V 2 Tb size 12{ ital "Es" rSub { size 8{1} } =V rSup { size 8{2} } ital "Tb"} {}

Para calcular la Energía de S 2 se hace exactamente el mismo procedimiento.

En la simulación de este módulo se podrá calcular el número de bases necesarias de acuerdo a los coeficientes s i dados. A partir de ellas también se podrá observar la constelación correspondiente. Para descargar el código fuente, se debe hacer click en el siguiente enlace:

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What are the treatment for autism?
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Source:  OpenStax, Laboratorio digital interactivo. OpenStax CNX. Feb 09, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11274/1.1
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