<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Reduksie formule

Enige trigonometriese funksie wat se argument 90 ± θ , 180 ± θ , 270 ± θ is en 360 ± θ (dus - θ ) kan eenvoudig geskryf word in terme van θ . Byvoorbeeld, jy kon opgemerk het dat die cosinus-grafiek identies is aan die sinus-grafiek behalwe vir 'n fase verskuiwing van 90 . Dit kan dus afgelei word dat sin ( 90 + θ ) = cos θ .

Funksie waardes van 180 ± θ

Ondersoek : reduksie formules vir funksie waardes van 180 ± θ

  1. Funksie Waardes van ( 180 - θ )
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ = 30 met die x -as. P het dus die koördinate ( 3 ; 1 ) . As P' die refleksie van P om die y -as (of die lyn x = 0 ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sin θ , cos θ en tan θ .
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin ( 180 - θ ) , cos ( 180 - θ ) en tan ( 180 - θ ) .
    1. Probeer om uit die resultate 'n verhouding tussen die funksie waardes van ( 180 - θ ) en θ te bepaal.
  2. Funksie waardes van ( 180 + θ )
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ = 30 met die x -as. P het dus die koördinate ( 3 ; 1 ) . As P' die refleksie van P om die y -as (of die lyn x = 0 ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sin θ , cos θ en tan θ .
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin ( 180 + θ ) , cos ( 180 + θ ) en tan ( 180 + θ ) .

Ondersoek: reduksie formules vir funksie waardes van 360 ± θ

  1. Funksie waardes van ( 360 - θ )
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ = 30 met die x -as. P het dus die koördinate ( 3 ; 1 ) . As P' die refleksie van P om die y -as (of die lyn x = 0 ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sin θ , cos θ en tan θ .
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin ( 360 - θ ) , cos ( 360 - θ ) en tan ( 360 - θ ) .

Dit is moontlik om 'n hoek groter as 360 te hê. Die hoek voltooi een omwenteling van 360 en dan gaan dit voort om die vereiste hoek te gee. Ons kry die volgende resultate:

sin ( 360 + θ ) = sin θ cos ( 360 + θ ) = cos θ tan ( 360 + θ ) = tan θ

Neem ook kennis, dat as k enige heelgetal is, dan is

sin ( k 360 + θ ) = sin θ cos ( k 360 + θ ) = cos θ tan ( k 360 + θ ) = tan θ

Skryf sin 293 as die funksie van 'n skerphoek.

  1. sin 293 = sin ( 360 - 67 ) = - sin 67

    waar ons die feit gebruik het dat sin ( 360 - θ ) = - sin θ . Toets, met behulp van jou sakrekenaar, dat hierdie waardes wel reg is:

    sin 293 = - 0 , 92 - sin 67 = - 0 , 92

Evalueer sonder 'n sakrekenaar:

tan 2 210 - ( 1 + cos 120 ) sin 2 225
  1. tan 2 210 - ( 1 + cos 120 ) sin 2 225 = [ tan ( 180 + 30 ) ] 2 - [ 1 + cos ( 180 - 60 ) ] · [ sin ( 180 + 45 ) ] 2 = ( tan 30 ) 2 - [ 1 + ( - cos 60 ) ] · ( - sin 45 ) 2 = 1 3 2 - 1 - 1 2 · - 1 2 2 = 1 3 - 1 2 1 2 = 1 3 - 1 4 = 1 12

Reduksie formules

  1. Skryf hierdie vergelykings as 'n funksie van slegs θ :
    1. sin ( 180 - θ )
    2. cos ( 180 - θ )
    3. cos ( 360 - θ )
    4. cos ( 360 + θ )
    5. tan ( 180 - θ )
    6. cos ( 360 + θ )
  2. Skryf die volgende trig funksies as 'n funksie van' n skerphoek:
    1. sin 163
    2. cos 327
    3. tan 248
    4. cos 213
  3. Bepaal die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:
    1. tan 150 . sin 30 + cos 330
    2. tan 300 . cos 120
    3. ( 1 - cos 30 ) ( 1 - sin 210 )
    4. cos 780 + sin 315 . tan 420
  4. Bepaal die volgende deur dit te herlei na 'n skerphoek en met behulp van spesiale hoeke. Moenie 'n sakrekenaar gebruik nie:
    1. cos 300
    2. sin 135
    3. cos 150
    4. tan 330
    5. sin 120
    6. tan 2 225
    7. cos 315
    8. sin 2 420
    9. tan 405
    10. cos 1020
    11. tan 2 135
    12. 1 - sin 2 210

Funksie waardes van ( - θ )

Wanneer die argument van 'n trigonometriese funksie ( - θ ) is kan 360 by voeg sonder om die resultaat te verander. So vir sinus en kosinus het ons

sin ( - θ ) = sin ( 360 - θ ) = - sin θ
cos ( - θ ) = cos ( 360 - θ ) = cos θ

Funksie waardes van 90 ± θ

Ondersoek: reduksie formules vir funksie waardes van 90 ± θ

  1. Funksie waardes van ( 90 - θ )
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ = 30 met die x -as. P het dus die koördinate ( 3 ; 1 ) . As P' die refleksie van P om die y -as (of die lyn x = 0 ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sin θ , cos θ en tan θ .
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin ( 90 - θ ) , cos ( 90 - θ ) en tan ( 90 - θ ) .
  2. Funksie waardes van ( 90 + θ )
    1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ = 30 met die x -as. P het dus die koördinate ( 3 ; 1 ) . As P' die refleksie van P om die y -as (of die lyn x = 0 ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
    2. Gee waardes vir sin θ , cos θ en tan θ .
    3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin ( 90 + θ ) , cos ( 90 + θ ) en tan ( 90 + θ ) .

Komplementêre hoeke is positiewe skerphoeke wat gelyk is aan 90 . Bv. 20 en 70 is komplimentere hoeke.

Sinus en kosinus staan ​​bekend as ko-funksies . Twee funksies word ko-funksies genoem indien f ( A ) = g ( B ) whenever A + B = 90 (m.a.w. A en B is komplimentere hoeke). Die ander trig ko-funksies is secans en cosecans, en die tangens en cotangens.

Die funksie waarde van 'n hoek is gelyk aan die ko-funksie van sy komplement (die ko-ko-reël).

Dus het ons vir sinus en kosinus as

sin ( 90 - θ ) = cos θ cos ( 90 - θ ) = sin θ

Skryf elk van die volgende in terme van 40 deur gebruik te maak van sin ( 90 - θ ) = cos θ en cos ( 90 - θ ) = sin θ .

  1. cos 50
  2. sin 320
  3. cos 230
    1. cos 50 = cos ( 90 - 40 ) = sin 40
    2. sin 320 = sin ( 360 - 40 ) = - sin 40
    3. cos 230 = cos ( 180 + 50 ) = - cos 50 = - cos ( 90 - 40 ) = - sin 40

Funksie waardes van ( θ - 90 )

sin ( θ - 90 ) = - cos θ and cos ( θ - 90 ) = sin θ .

Hierdie resultate kan as volg bewys word:

sin ( θ - 90 ) = sin [ - ( 90 - θ ) ] = - sin ( 90 - θ ) = - cos θ

en so ook vir cos ( θ - 90 ) = sin θ

Opsomming

Die volgende opsomming kan gemaak word

tweede kwadrant ( 180 - θ ) or ( 90 + θ ) eerste kwadrant ( θ ) or ( 90 - θ )
sin ( 180 - θ ) = + sin θ alle trig funksies is positief
cos ( 180 - θ ) = - cos θ sin ( 360 + θ ) = sin θ
tan ( 180 - θ ) = - tan θ cos ( 360 + θ ) = cos θ
sin ( 90 + θ ) = + cos θ tan ( 360 + θ ) = tan θ
cos ( 90 + θ ) = - sin θ sin ( 90 - θ ) = sin θ
cos ( 90 - θ ) = cos θ
derde kwadrant ( 180 + θ ) vierde kwadrant ( 360 - θ )
sin ( 180 + θ ) = - sin θ sin ( 360 - θ ) = - sin θ
cos ( 180 + θ ) = - cos θ cos ( 360 - θ ) = + cos θ
tan ( 180 + θ ) = + tan θ tan ( 360 - θ ) = - tan θ
  1. Hierdie reduksie formules geld vir enige hoek θ . Vir gerief, werk ons gewoonlik met θ asof dit 'n skerphoek is, m.a.w. 0 < θ < 90 .
  2. By die bepaling van die funksie waardes van 180 ± θ , 360 ± θ and - θ verander die funksies nooit.
  3. By die bepaling van die funksie waardes van 90 ± θ and θ - 90 verander die funksies na sy ko-funksies (ko-ko-reel).

Funksie waardes van ( 270 ± θ )

Hoeke in die derde en vierde kwadrante kan geskryf word as 270 ± θ met θ 'n skerphoek. Soortgelyke reëls as bogenoemde is van toepassing. Ons kry

derde kwadrant ( 270 - θ ) vierde kwadrant ( 270 + θ )
sin ( 270 - θ ) = - cos θ sin ( 270 + θ ) = - cos θ
cos ( 270 - θ ) = - sin θ cos ( 270 + θ ) = + sin θ

Questions & Answers

Preparation and Applications of Nanomaterial for Drug Delivery
Hafiz Reply
Application of nanotechnology in medicine
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
Any one who tell me about Preparation and application of Nanomaterial for drug Delivery
Hafiz
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
hi
Loga
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask