5.2 Reduksieformule

Reduksie formule

Enige trigonometriese funksie wat se argument ${90}^{\circ }\pm \theta$ , ${180}^{\circ }\pm \theta$ , ${270}^{\circ }\pm \theta$ is en ${360}^{\circ }\pm \theta$ (dus $-\theta$ ) kan eenvoudig geskryf word in terme van $\theta$ . Byvoorbeeld, jy kon opgemerk het dat die cosinus-grafiek identies is aan die sinus-grafiek behalwe vir 'n fase verskuiwing van ${90}^{\circ }$ . Dit kan dus afgelei word dat $sin({90}^{\circ }+\theta )=cos\theta$ .

Funksie waardes van ${180}^{\circ }\pm \theta$

Ondersoek : reduksie formules vir funksie waardes van ${180}^{\circ }\pm \theta$

1. Funksie Waardes van $({180}^{\circ }-\theta )$
   1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek $\theta ={30}^{\circ }$ met die $x$ -as. P het dus die koördinate $(\sqrt{3};1)$ . As P' die refleksie van P om die $y$ -as (of die lyn $x=0$ ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
   2. Gee waardes vir $sin\theta$ , $cos\theta$ en $tan\theta$ .
   3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: $sin({180}^{\circ }-\theta )$ , $cos({180}^{\circ }-\theta )$ en $tan({180}^{\circ }-\theta )$ .

   

   1. (d) Probeer om uit die resultate 'n verhouding tussen die funksie waardes van $({180}^{\circ }-\theta )$ en $\theta$ te bepaal.
2. Funksie waardes van $({180}^{\circ }+\theta )$
   1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek $\theta ={30}^{\circ }$ met die $x$ -as. P het dus die koördinate $(\sqrt{3};1)$ . As P' die refleksie van P om die $y$ -as (of die lyn $x=0$ ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
   2. Gee waardes vir $sin\theta$ , $cos\theta$ en $tan\theta$ .
   3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: $sin({180}^{\circ }+\theta )$ , $cos({180}^{\circ }+\theta )$ en $tan({180}^{\circ }+\theta )$ .

   

Ondersoek: reduksie formules vir funksie waardes van ${360}^{\circ }\pm \theta$

1. Funksie waardes van $({360}^{\circ }-\theta )$
   1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek $\theta ={30}^{\circ }$ met die $x$ -as. P het dus die koördinate $(\sqrt{3};1)$ . As P' die refleksie van P om die $y$ -as (of die lyn $x=0$ ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
   2. Gee waardes vir $sin\theta$ , $cos\theta$ en $tan\theta$ .
   3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: $sin({360}^{\circ }-\theta )$ , $cos({360}^{\circ }-\theta )$ en $tan({360}^{\circ }-\theta )$ .

   

Dit is moontlik om 'n hoek groter as ${360}^{\circ }$ te hê. Die hoek voltooi een omwenteling van ${360}^{\circ }$ en dan gaan dit voort om die vereiste hoek te gee. Ons kry die volgende resultate:

Neem ook kennis, dat as $k$ enige heelgetal is, dan is

Reduksie formules

1. Skryf hierdie vergelykings as 'n funksie van slegs $\theta$ :
   1. $sin({180}^{\circ }-\theta )$
   2. $cos({180}^{\circ }-\theta )$
   3. $cos({360}^{\circ }-\theta )$
   4. $cos({360}^{\circ }+\theta )$
   5. $tan({180}^{\circ }-\theta )$
   6. $cos({360}^{\circ }+\theta )$
2. Skryf die volgende trig funksies as 'n funksie van' n skerphoek:
   1. $sin{163}^{\circ }$
   2. $cos{327}^{\circ }$
   3. $tan{248}^{\circ }$
   4. $cos{213}^{\circ }$
3. Bepaal die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:
   1. $tan{150}^{\circ }.sin{30}^{\circ }+cos{330}^{\circ }$
   2. $tan{300}^{\circ }.cos{120}^{\circ }$
   3. $(1-cos{30}^{\circ })(1-sin{210}^{\circ })$
   4. $cos{780}^{\circ }+sin{315}^{\circ }.tan{420}^{\circ }$
4. Bepaal die volgende deur dit te herlei na 'n skerphoek en met behulp van spesiale hoeke. Moenie 'n sakrekenaar gebruik nie:
   1. $cos{300}^{\circ }$
   2. $sin{135}^{\circ }$
   3. $cos{150}^{\circ }$
   4. $tan{330}^{\circ }$
   5. $sin{120}^{\circ }$
   6. ${tan}^2{225}^{\circ }$
   7. $cos{315}^{\circ }$
   8. ${sin}^2{420}^{\circ }$
   9. $tan{405}^{\circ }$
   10. $cos{1020}^{\circ }$
   11. ${tan}^2{135}^{\circ }$
   12. $1-{sin}^2{210}^{\circ }$

Funksie waardes van $(-\theta )$

Wanneer die argument van 'n trigonometriese funksie $(-\theta )$ is kan ${360}^{\circ }$ by voeg sonder om die resultaat te verander. So vir sinus en kosinus het ons

Funksie waardes van ${90}^{\circ }\pm \theta$

Ondersoek: reduksie formules vir funksie waardes van ${90}^{\circ }\pm \theta$

1. Funksie waardes van $({90}^{\circ }-\theta )$
   1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek $\theta ={30}^{\circ }$ met die $x$ -as. P het dus die koördinate $(\sqrt{3};1)$ . As P' die refleksie van P om die $y$ -as (of die lyn $x=0$ ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
   2. Gee waardes vir $sin\theta$ , $cos\theta$ en $tan\theta$ .
   3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: $sin({90}^{\circ }-\theta )$ , $cos({90}^{\circ }-\theta )$ en $tan({90}^{\circ }-\theta )$ .

   

2. Funksie waardes van $({90}^{\circ }+\theta )$
   1. In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek $\theta ={30}^{\circ }$ met die $x$ -as. P het dus die koördinate $(\sqrt{3};1)$ . As P' die refleksie van P om die $y$ -as (of die lyn $x=0$ ) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
   2. Gee waardes vir $sin\theta$ , $cos\theta$ en $tan\theta$ .
   3. Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: $sin({90}^{\circ }+\theta )$ , $cos({90}^{\circ }+\theta )$ en $tan({90}^{\circ }+\theta )$ .

   

Komplementêre hoeke is positiewe skerphoeke wat gelyk is aan ${90}^{\circ }$ . Bv. ${20}^{\circ }$ en ${70}^{\circ }$ is komplimentere hoeke.

Sinus en kosinus staan ​​bekend as ko-funksies . Twee funksies word ko-funksies genoem indien $f\left(A\right)=g\left(B\right)$ whenever $A+B={90}^{\circ }$ (m.a.w. $A$ en $B$ is komplimentere hoeke). Die ander trig ko-funksies is secans en cosecans, en die tangens en cotangens.

Die funksie waarde van 'n hoek is gelyk aan die ko-funksie van sy komplement (die ko-ko-reël).

Dus het ons vir sinus en kosinus as

Funksie waardes van $(\theta -{90}^{\circ })$

$sin(\theta -{90}^{\circ })=-cos\theta$ and $cos(\theta -{90}^{\circ })=sin\theta$ .

Hierdie resultate kan as volg bewys word:

en so ook vir $cos(\theta -{90}^{\circ })=sin\theta$

Opsomming

Die volgende opsomming kan gemaak word

Funksie waardes van $({270}^{\circ }\pm \theta )$

Hoeke in die derde en vierde kwadrante kan geskryf word as ${270}^{\circ }\pm \theta$ met $\theta$ 'n skerphoek. Soortgelyke reëls as bogenoemde is van toepassing. Ons kry