2.1 Notasie

Notasie

Die $n^{de}$ -term van 'n reeks word geskryf as $a_n$ . So byvoorbeeld, is die eerste term van 'n reeks $a_1$ en die tiende term van 'n reeks is $a_{\mathrm{10}}$ . ʼn Reeks hoef nie ʼn patroon te volg nie, maar wanneer dit wel 'n patroon het, kan ons dit gewoonlik as ʼn formule skryf om die $n^{de}$ -term, $a_n$ , te bereken. In die reeks

waar die reeks bestaan uit die vierkante van heelgetalle, is die formule vir die $n^{\mathrm{de}}$ -term:

Jy kan sien dat dit reg is deur te kyk na:

Dus, deur [link] te gebruik, kan ons ʼn patroon van die vierkante van heelgetalle vorm.

Ons kan ook 'n konstante verskil tussen die terme bepaal vir sekere patrone.

Konstante verskil

Die konstante verskil is die verskil tussen opeenvolgende terme en word aagedui met die letter d.

Byvoorbeeld, beskou die reeks: $10;7;4;1;\mathrm{...}$ . Om die gemeenskaplike verskil te vind, trek ons die betrokke term af van die volgende term.

Soos voorheen, studeer jy en 3 vriende wiskunde, en julle sit rondom ʼn vierkantige tafel. ʼn Paar minute later besluit 2 ander vriende om by julle aan te sluit en wil kom sit en julle sit ʼn ekstra tafel by sodat al 6 van julle kan sit. Weereens besluit nog 2 van jou vriende om by julle aan te sluit en julle skuif ʼn derde tafel sodat daar genoeg plek is vir 8 van julle soos in die prentjie:

Vind ʼn wiskundige uitdrukking vir die getal mense wat om $n$ tafels kan sit. Gebruik dan die algemene formule om te bepaal hoeveel mense om 12 tafels kan sit en hoeveel tafels is nodig sodat 20 mense kan sit.

1. Tabelleer ʼn paar terme om te sien of daar ʼn patroon is

   Aantal tafels , $n$	Aantal mense wat kan sit	Formule
   1	$4=4$	$=4+2·\left(0\right)$
   2	$4+2=6$	$=4+2·\left(1\right)$
   3	$4+2+2=8$	$=4+2·\left(2\right)$
   4	$4+2+2+2=10$	$=4+2·\left(3\right)$
   $⋮$	$⋮$	$⋮$
   $n$	$4+2+2+2+...+2$	$=4+2·(n-1)$

2. Beskryf die patroon

   Die aantal mense wat rondom $n$ tafels kan sit, is:

   $$a_n=4+2·(n-1)$$
3. Bereken die ${12}^{\mathrm{de}}$ term

   Deur te kyk na die voorbeeld van die vorige gedeelte, bereken hoeveel mense kan rondom 12 tafels sit. Ons soek vir $a_{12}$ , dit is, waar $n=12$ :

   $$\begin{array}{ccc}\hfill a_n& =& a_1+d·(n-1)\hfill \\ \hfill a_{12}& =& 4+2·(12-1)\hfill \\ & =& 4+2\left(11\right)\hfill \\ & =& 4+22\hfill \\ & =& 26\hfill \end{array}$$
4. Bereken die aantal terme as $a_n=20$
   $$\begin{array}{ccc}\hfill a_n& =& a_1+d·(n-1)\hfill \\ \hfill 20& =& 4+2·(n-1)\hfill \\ \hfill 20-4& =& 2·(n-1)\hfill \\ \hfill 16÷2& =& n-1\hfill \\ \hfill 8+1& =& n\hfill \\ \hfill n& =& 9\hfill \end{array}$$
5. Finale antwoord

   26 mense kan rondom 12 tafels sit en 9 tafels is nodig sodat 20 mense kan sit.

Dit is ook belangrik om te let op die verskil tussen $n$ en $a_n$ : $n$ kan gesien word as 'n plekhouer, terwyl $a_n$ die waarde is by die plek wat "gehou" word deur $n$ . Soos in ons "Studeertafel" voorbeeld, kan 4 mense rondom die eerste tafel (Tabel 1) sit. Dus, by plek $n=1$ , is die waarde van $a_1=4$ ensovoorts:

Ondersoek : algemene formule

1. Vind die algemene formule vir die volgende reekse en vind dan $a_{10}$ , $a_{50}$ en $a_{100}$ :
   1. $2;5;8;11;14;...$
   2. $0;4;8;12;16;...$
   3. $2;-1;-4;-7;-10;...$
2. Hieronder is die algemene formules gegee vir 'n paar reekse. Bereken die terme wat weggelaat is.
   1. $0;3;...;15;24$        $n^2-1$
   2. $3;2;1;0;...;-2$        $-n+4$
   3. $-11;...;-7;...;-3$        $-13+2n$

Patrone en bewerings

In wiskunde is 'n bewering 'n wiskundige stelling wat lyk of dit waar is, maar wat nog nie formeel as waar bewys is nie. 'n Bewering kan gesien word as 'n intelligente raaiskoot of idee wat moontlik 'n patroon kan wees.

Byvoorbeeld: Maak 'n bewering oor die getal wat sal volg, gebaseer op die patroon $2;6;11;17:...$

Die getalle vermeerder met 4, dan 5, dan 6.

Bewering: Die volgende getal sal vermeerder met 7. So ons verwag dat die volgende getal $17+7=24$ sal wees.

Opsomming

• Daar is 'n hele paar spesiale reekse van getalle:
  • Driehoeksgetalle $1;3;6;10;15;21;28;36;45;...$
  • Vierkantsgetalle $1;4;9;16;25;36;49;64;81;...$
  • Derdemagsgetalle $1;8;27;64;125;216;343;512;729;...$
  • Fibonacci Getalle $0;1;1;2;3;5;8;13;21;34;...$
• Die algemene formule is $a_n=a_1+d·(n-1)$ waar $d$ die konstante verskil is tussen die verskillende terme en $a_n$ is die $n^{\mathrm{de}}$ -term. Ons kan 'n algemene formule uitwerk vir elke getalpatroon en dit gebruik om te voorspel wat enige getal in die patroon sal wees.

Oefeninge

1. Vind die $n^{\mathrm{de}}$ -term vir: $3;7;11;15;...$
2. Vind die algemene term vir die volgende reekse:
   1. $-2;1;4;7;...$
   2. $11;15;19;23;...$
   3. reeks met $a_3=7$ en $a_8=15$
   4. reeks met $a_4=-8$ en $a_{10}=10$
3. Die sitplekke in 'n gedeelte van 'n sportstadion kan so gerangskik word dat die eerste ry 15 sitplekke het, die tweede ry 19 sitplekke, die derde ry 23 sitplekke, ens. Bereken hoeveel sitpleke is daar in ry 25.
4. 'n Enkele vierkant kan gemaak word van 4 vuurhoutjies. Om twee vierkante langs mekaar te maak het jy 7 vuurhoutjies nodig, om drie vierkante langs mekaar in 'n ry te maak het jy 10 vuurhoutjies nodig. Bepaal:
   1. die eerste term
   2. die konstante verskil
   3. die algemene formule
   4. hoeveel vuurhoutjies benodig word om 25 vierkante langs mekaar te maak

   

5. Jy wil begin om geld te spaar, maar omdat jy dit nog nooit gedoen het nie, besluit jy om stadig te begin. Aan die einde van die eerste week sit jy R5 in jou bankrekening, aan die einde van die tweede week R10, en aan die einde van die derde week R15. Na hoeveel weke sit jy R50 in jou bankrekening?
6. 'n Horisontale lyn kruis 'n tou op vier punte en deel die tou op in 5 dele, soos hieronder gewys word.

   

   As die tou 19 keer gekruis word deur ewewydige lyne en elke lyn kruis die tou vier keer op verskillende plekke, bereken in hoeveel dele die tou opgedeel word.