<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Chương này trình bày trình bày khái niệm đối ngẫu, các quy tắc đối ngẫu và giải thuật đối ngẫu. Đây là các kiến thức có giá trị trong ứng dụng vì nhờ đó có thể giải một quy hoạch tuyến tính từ quy hoạch tuyến tính đối ngẫu của nó.

KHÁI NIỆM VỀ ĐỐI NGẪU

Đối ngẫu là một khái niệm cơ bản của việc giải bài toán quy hoạch tuyến tính vì lý thuyết đối ngẫu dẫn đến một kết quả có tầm quan trọng về mặt lý thuyết và cả mặt thực hành.

Đối ngẫu của quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Xét một bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

min z ( x ) = c T x Ax = b x 0 { alignl { stack { size 12{"min z" \( x \) =c rSup { size 8{T} } x} {} #alignl { stack { left lbrace "Ax"=" b " {} #right none left lbrace x>= "0 " {} # right no } } lbrace {}} } {}

Giả sử rằng x* là phương án tối ưu cần tìm của bài toán và x0 là một phương án của bài toán thì một cận trên của giá trị mục tiêu tối ưu được xác định vì :

cTx* £ cTx0

Tuy chưa tìm được phương án tối ưu x* nhưng nếu biết thêm được một cận dưới của giá trị mục tiêu tối ưu thì ta đã giới hạn được phần nào giá trị mục tiêu tối ưu. Người ta ước lượng cận dưới này theo cách như sau :

Với mỗi vectơ xT = [x1 x2 ... xn] ³ 0 thuộc Rn chưa thoả ràng buộc của bài toán, tức là

b – Ax ¹ 0

người ta nới lỏng bài toán trên thành bài toán nới lỏng :

min L(x,y) = cTx + yT(b - Ax)

x ³ 0

yT = [ y1 y2 ... ym] tuỳ ý Î Rm

Gọi g(y) là giá trị mục tiêu tối ưu của bài toán nới lỏng, ta có :

g(y)= min { cTx + yT(b - Ax) } (x ³ 0)

£ cTx + yT(b - Ax)

Trong trường hợp x là phương án của bài toán ban đầu, tức là :

b - Ax = 0

thì

g(y) £ cTx

Vậy g(y) là một cận dưới của giá trị mục tiêu bất kỳ nên cũng là cận dưới của giá trị mục tiêu tối ưu.

Một cách tự nhiên là người ta quan tâm đến bài toán tìm cận dưới lớn nhất, đó là :

max g(y)

y tuỳ ý Î Rm

Bài toán này được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán ban đầu. Trong phần sau người ta sẽ chứng minh giá trị mục tiêu tối ưu của bài toán đối ngẫu bằng với giá trị mục tiêu tối ưu của bài toán gốc ban đầu.

Người ta đưa bài toán đối ngẫu về dạng dể sử dụng bằng cách tính như sau :

g(y)= min { cTx+yT(b - Ax) }(x ³ 0)

= min { cTx + yTb - yTAx }(x ³ 0)

= min { yTb + (cT - yTA)x }(x ³ 0)

= yTb + min { (cT - yTA)x } (x ³ 0)

Ta thấy :

min ( c T y T A ) x = ( x 0 ) [ 0 khi c T y T A 0 [ không xác đinh khi c T y T A < 0 [ size 12{ {"min" \( c rSup { size 8{T} } - y rSup { size 8{T} } A \) x={}} cSub { size 8{ \( x>= 0 \) } } alignl { stack { \[0" khi c" rSup { size 8{T} } - y rSup { size 8{T} } A>= 0 {} # \[ ital "không"" xác đinh khi c" rSup { size 8{T} } - y rSup { size 8{T} } A<0 {} } } \[ } {}

Vậy ta nhận được :

g(y) = yTb với cT - yTA  0

Suy ra bài tóan đối ngẫu có dạng :

max g ( y ) = y T b y T A c T y R m tùy ý { alignl { stack { size 12{"max"" g" \( y \) =y rSup { size 8{T} } b} {} #alignl { stack { left lbrace y rSup { size 8{T} } A<= c rSup { size 8{T} } {} # right none left lbrace y in R rSup { size 8{m} } " tùy ý " {} #right no } } lbrace {} } } {}

Hay là :

max g ( y ) = b T y A T y c y R m tùy ý { alignl { stack { size 12{"max"" g" \( y \) =b rSup { size 8{T} } y} {} #alignl { stack { left lbrace A rSup { size 8{T} } y<= c {} # right none left lbrace y in R rSup { size 8{m} } " tùy ý " {} #right no } } lbrace {} } } {}

Định nghĩa đối ngẫu trong trường hợp quy hoạch tổng quát

Trong trường hợp quy hoạch tuyến tính tổng quát, những quy tắc sau đây được áp dụng để xây dựng bài toán đối ngẫu :

- Hàm mục tiêu đối ngẫu :

. max « min

- Biến đối ngẫu :

. Mỗi ràng buộc « một biến đối ngẫu

- Chi phí đối ngẫu và giới hạn ràng buộc :

. Chi phí đối ngẫu « giới hạn ràng buộc

- Ma trận ràng buộc đối ngẫu :

. Ma trận chuyển vị

- Chiều của ràng buộc và dấu của biến :

. Ràng buộc trong bài toán max có dấu £ thì biến đối ngẫu trong bài toán min có dấu ³ 0 ( trái chiều )

. Ràng buộc trong bài toán max có dấu = thì biến đối ngẫu trong bài toán min có dấu tùy ý.

. Ràng buộc trong bài toán max có dấu ³ thì biến đối ngẫu trong bài toán min có dấu £ 0 ( trái chiều )

. Biến của bài toán max có dấu ³ 0 thì ràng buộc đối ngẫu trong bài toán min có dấu ³ ( cùng chiều )

Questions & Answers

where we get a research paper on Nano chemistry....?
Maira Reply
what are the products of Nano chemistry?
Maira Reply
There are lots of products of nano chemistry... Like nano coatings.....carbon fiber.. And lots of others..
learn
Even nanotechnology is pretty much all about chemistry... Its the chemistry on quantum or atomic level
learn
Google
da
no nanotechnology is also a part of physics and maths it requires angle formulas and some pressure regarding concepts
Bhagvanji
Preparation and Applications of Nanomaterial for Drug Delivery
Hafiz Reply
revolt
da
Application of nanotechnology in medicine
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
Nasa has use it in the 60's, copper as water purification in the moon travel.
Alexandre
nanocopper obvius
Alexandre
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
Any one who tell me about Preparation and application of Nanomaterial for drug Delivery
Hafiz
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Quy hoạch tuyến tính. OpenStax CNX. Aug 08, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10903/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Quy hoạch tuyến tính' conversation and receive update notifications?

Ask