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La región de convergencia

La región de convergencia, también conocida como ROC , es importante entender por que define la región donde la transformada-z existe. La transformada–z se define por

X z n x n z n
La ROC para una x n , es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia , converge cuando x n z n es absolutamente sumable. En otras palabras,
n x n z n
tiene que ser satisfecha para la convergencia.

Propiedades de la región de convergencia

La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, x n .

  • La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde X z es infinito. Ya que X z tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.
  • Si x n es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en z 0 o z . Una secuencia de duración finita es aquella que tienen valor de no cero en un intervalo finito n 1 n n 2 .Mientras que cada valor de x n es finito entonces la secuencia será absolutamente sumable. Cuando n 2 0 entonces existirá z términos por lo tanto la ROC no incluye z 0 . Cuando n 1 0 la suma será infinita por lo tanto la ROC no incluye z . Pero si, n 2 0 entonces la ROC incluirá z 0 , y cuando n 1 0 la ROC incluirá z . Con esta condiciones, la única señal que tiene una ROC que cubre todo el plano-z es x n c δ n .

Ejemplo de una secuencia de duracion finita.

Las siguientes propiedades se aplican a secuencias con duración infinita. Como se menciono anterior mente la transformada-z converge cuando X z . Así que podemos escribir

X z n x n z n n x n z n n x n z n
Podemos separar la suma infinita en su tiempo positive y negativa. Por lo tanto
X z N z P z
N z n -1 x n z n
P z n 0 x n z n
Para que X z se infinita, x n tiene que estar restringida entonces definamos
x n C 1 r 1 n
para n 0 y
x n C 2 r 2 n
para n 0 De estos también se pueden derivar más propiedades:
  • Si x n es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde X z . Una secuencia del lado derecho es aquella donde x n 0 para n n 1 . Si vemos la porción del tiempo positive de la ultima derivación, se puede deducir que
    P z C 2 n 0 r 2 n z n C 2 n 0 r 2 z n
    Por lo tanto para que la suma converja, z r 2 , así que la ROC de una secuencia del lado derecho tiene la forma de z r 2 .

Secuencia de lado derecho
LA ROC de una secuencia de lado derecho.

  • Si x n es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en X z . Una secuencia del lado izquierdo es aquella donde x n 0 para n n 2 . Si vemos la porción del lado negativa de la ultima derivación se puede deducir que
    N z C 1 n -1 r 1 n z n C 1 n -1 r 1 z n C 1 k 1 z r 1 k
    Por lo tanto para que la suma converja, z r 1 , así que la ROC de la secuencia del lado izquierdo tiene la forma de z r 1 .

Secuencia de lado izquierdo.
La ROC de una secuencia de lado izquierdo.

  • Si x n es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo . Una secuencia de dos lados es aquella con duración infinita en direcciones positivas y negativas. De la derivación de las dos propiedades, podemos deducir que si r 2 z r 2 converge, entonces el tiempo positivo y el tiempo negativo converge, y X z converge también. Por eso la ROC de una secuencia de dos lados tiene la forma de r 2 z r 2 .

Una secuencia de dos lados.
La ROC de una secuancia de dos lados.


Para entender esto mejor veremos los siguientes ejemplos.


x 1 n 1 2 n u n 1 4 n u n
La transformada de 1 2 n u n es z z 1 2 con ROC en z 1 2 .

La ROC de 1 2 n u n

La transformada de -1 4 n u n es z z 1 4 con ROC en z -1 4 .

La ROC de -1 4 n u n

Usando linealidad,

X 1 z z z 1 2 z z 1 4 2 z z 1 8 z 1 2 z 1 4
Al observar esto se vuelve claro que hay dos cero, uno en 0 y el otro en 1 8 , y dos polos, uno en 1 2 , y en -1 4 . Usando las propiedades, la ROC es z 1 2 .

La ROC de x 1 n 1 2 n u n -1 4 n u n
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Ahora tomemos

x 2 n -1 4 n u n 1 2 n u n 1
La transformada y ROC de -1 4 n u n fueron mostradas en el ejemplo anterior . La transformada de 1 2 n u n 1 es z z 1 2 con una ROC en z 1 2 .

La ROC de 1 2 n u n 1

Usando linealidad,

X 2 z z z 1 4 z z 1 2 z 2 z 1 8 z 1 4 z 1 2
Podemos observar que hay dos ceros, en 0 y 1 16 , y dos polos en 1 2 , y -1 4 . En este caso la ROC es z 1 2 .

La ROC de x 2 n -1 4 n u n 1 2 n u n 1 .
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Questions & Answers

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
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