15.2 Región de convergencia para la transformada- z

La región de convergencia

La región de convergencia, también conocida como ROC , es importante entender por que define la región donde la transformada-z existe. La transformada–z se define por

Propiedades de la región de convergencia

La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, $x(n)$ .

• La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde $X(z)$ es infinito. Ya que $X(z)$ tiene que ser finita para todas las $z$ para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.
• Si $x(n)$ es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en $z=0$ o $\left|z\right|$∞ . Una secuencia de duración finita es aquella que tienen valor de no cero en un intervalo finito $n_1\le n\le n_2$ .Mientras que cada valor de $x(n)$ es finito entonces la secuencia será absolutamente sumable. Cuando $n_2> 0$ entonces existirá $z^{(-1)}$ términos por lo tanto la ROC no incluye $z=0$ . Cuando $n_1< 0$ la suma será infinita por lo tanto la ROC no incluye $\left|z\right|$∞ . Pero si, $n_2\le 0$ entonces la ROC incluirá $z=0$ , y cuando $n_1\ge 0$ la ROC incluirá $\left|z\right|$∞ . Con esta condiciones, la única señal que tiene una ROC que cubre todo el plano-z es $x(n)=c\delta (n)$ .

Las siguientes propiedades se aplican a secuencias con duración infinita. Como se menciono anterior mente la transformada-z converge cuando $\left|X(z)\right|$∞ . Así que podemos escribir

• Si $x(n)$ es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde $X(z)$ . Una secuencia del lado derecho es aquella donde $x(n)=0$ para $n< n_1$∞ . Si vemos la porción del tiempo positive de la ultima derivación, se puede deducir que
  $P(z)\le C_2\sum_{n=0}$∞ r 2 n z n C 2 n 0 ∞ r 2 z n
  Por lo tanto para que la suma converja, $\left|z\right|> r_2$ , así que la ROC de una secuencia del lado derecho tiene la forma de $\left|z\right|> r_2$ .

• Si $x(n)$ es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en $X(z)$ . Una secuencia del lado izquierdo es aquella donde $x(n)=0$ para $n> n_2> ()$∞ . Si vemos la porción del lado negativa de la ultima derivación se puede deducir que
  $N(z)\le C_1\sum_{n=()}$∞ -1 r 1 n z n C 1 n ∞ -1 r 1 z n C 1 k 1 ∞ z r 1 k
  Por lo tanto para que la suma converja, $\left|z\right|< r_1$ , así que la ROC de la secuencia del lado izquierdo tiene la forma de $\left|z\right|< r_1$ .

• Si $x(n)$ es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo . Una secuencia de dos lados es aquella con duración infinita en direcciones positivas y negativas. De la derivación de las dos propiedades, podemos deducir que si $r_2< \left|z\right|< r_2$ converge, entonces el tiempo positivo y el tiempo negativo converge, y $X(z)$ converge también. Por eso la ROC de una secuencia de dos lados tiene la forma de $r_2< \left|z\right|< r_2$ .

Ejemplos

Para entender esto mejor veremos los siguientes ejemplos.