6.4 Propiedades de la serie de fourier

Empezaremos por refrescar su memoria sobre las ecuaciones básicas de las series de Fourier :

Linealidad

$ℱ(·)$ es una transformación linear .

Si $ℱ(f(t))=c_n$ y $ℱ(g(t))=d_n$ . Entonces $$\forall \alpha , \alpha \in \mathbb{C}\colon ℱ(\alpha f(t))=\alpha c_n$$ y $$ℱ(f(t)+g(t))=c_n+d_n$$

Desplazamiento

Desplazamiento en el tiempo es igual a un desplazamiento angular de los coeficientes de Fourier

$ℱ(f(t-t_0))=e^{-(i{\omega }_{0}n{t}_0)}{c}_n$ si $c_n=\left|c_n\right|e^{i\angle (c_n)}$ , entonces $$\left|e^{-(i{\omega }_{0}n{t}_0)}{c}_n\right|=\left|e^{-(i{\omega }_{0}n{t}_0)}\right|\left|c_n\right|=\left|c_n\right|$$ $$\angle (e^{-(i{\omega }_0{t}_{0}n)})=\angle (c_n)-{\omega }_0{t}_{0}n$$

La relaciÓN de parseval

El radio de descomposición de una serie de fourier determina si $f(t)$ tiene energía finita .

DiferenciaciÓN en el dominio de fourier

Ya que

IntegraciÓN en el dominio de fourier

Si

Integración acentúa frecuencias bajas y atenúa frecuencias altas. Integradores muestran las cosas generales de las señales y suprimen variaciones de corto plazo (lo cual es ruido en muchos casos). Integradores son mejores que diferenciadores.

MultiplicaciÓN de seÑAles

Dado a una señal $f(t)$ con coeficientes de Fourier $c_n$ y una señal $g(t)$ con coeficientes $d_n$ , podemos definir una nueva señal como, $y(t)$ , donde $y(t)=f(t)g(t)$ . Descubrimos que la representación de series de Fourier de $y(t)$ , $e_n$ , es tal que $e_n=\sum_{k=()}$∞ ∞ c k d n - k . Esto es para decir que la multiplicación de señales en el dominio del tiempo es equivalente a la convolución discreta en el dominio de la frecuencia. La prueba es la siguiente