<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Chương này trình bày trình bày khái niệm đối ngẫu, các quy tắc đối ngẫu và giải thuật đối ngẫu. Đây là các kiến thức có giá trị trong ứng dụng vì nhờ đó có thể giải một quy hoạch tuyến tính từ quy hoạch tuyến tính đối ngẫu của nó.

KHÁI NIỆM VỀ ĐỐI NGẪU

Đối ngẫu là một khái niệm cơ bản của việc giải bài toán quy hoạch tuyến tính vì lý thuyết đối ngẫu dẫn đến một kết quả có tầm quan trọng về mặt lý thuyết và cả mặt thực hành.

Đối ngẫu của quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Xét một bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

min z ( x ) = c T x Ax = b x 0 { alignl { stack { size 12{"min z" \( x \) =c rSup { size 8{T} } x} {} #alignl { stack { left lbrace "Ax"=" b " {} #right none left lbrace x>= "0 " {} # right no } } lbrace {}} } {}

Giả sử rằng x* là phương án tối ưu cần tìm của bài toán và x0 là một phương án của bài toán thì một cận trên của giá trị mục tiêu tối ưu được xác định vì :

cTx* £ cTx0

Tuy chưa tìm được phương án tối ưu x* nhưng nếu biết thêm được một cận dưới của giá trị mục tiêu tối ưu thì ta đã giới hạn được phần nào giá trị mục tiêu tối ưu. Người ta ước lượng cận dưới này theo cách như sau :

Với mỗi vectơ xT = [x1 x2 ... xn] ³ 0 thuộc Rn chưa thoả ràng buộc của bài toán, tức là

b – Ax ¹ 0

người ta nới lỏng bài toán trên thành bài toán nới lỏng :

min L(x,y) = cTx + yT(b - Ax)

x ³ 0

yT = [ y1 y2 ... ym] tuỳ ý Î Rm

Gọi g(y) là giá trị mục tiêu tối ưu của bài toán nới lỏng, ta có :

g(y)= min { cTx + yT(b - Ax) } (x ³ 0)

£ cTx + yT(b - Ax)

Trong trường hợp x là phương án của bài toán ban đầu, tức là :

b - Ax = 0

thì

g(y) £ cTx

Vậy g(y) là một cận dưới của giá trị mục tiêu bất kỳ nên cũng là cận dưới của giá trị mục tiêu tối ưu.

Một cách tự nhiên là người ta quan tâm đến bài toán tìm cận dưới lớn nhất, đó là :

max g(y)

y tuỳ ý Î Rm

Bài toán này được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán ban đầu. Trong phần sau người ta sẽ chứng minh giá trị mục tiêu tối ưu của bài toán đối ngẫu bằng với giá trị mục tiêu tối ưu của bài toán gốc ban đầu.

Người ta đưa bài toán đối ngẫu về dạng dể sử dụng bằng cách tính như sau :

g(y)= min { cTx+yT(b - Ax) }(x ³ 0)

= min { cTx + yTb - yTAx }(x ³ 0)

= min { yTb + (cT - yTA)x }(x ³ 0)

= yTb + min { (cT - yTA)x } (x ³ 0)

Ta thấy :

min ( c T y T A ) x = ( x 0 ) [ 0 khi c T y T A 0 [ không xác đinh khi c T y T A < 0 [ size 12{ {"min" \( c rSup { size 8{T} } - y rSup { size 8{T} } A \) x={}} cSub { size 8{ \( x>= 0 \) } } alignl { stack { \[0" khi c" rSup { size 8{T} } - y rSup { size 8{T} } A>= 0 {} # \[ ital "không"" xác đinh khi c" rSup { size 8{T} } - y rSup { size 8{T} } A<0 {} } } \[ } {}

Vậy ta nhận được :

g(y) = yTb với cT - yTA  0

Suy ra bài tóan đối ngẫu có dạng :

max g ( y ) = y T b y T A c T y R m tùy ý { alignl { stack { size 12{"max"" g" \( y \) =y rSup { size 8{T} } b} {} #alignl { stack { left lbrace y rSup { size 8{T} } A<= c rSup { size 8{T} } {} # right none left lbrace y in R rSup { size 8{m} } " tùy ý " {} #right no } } lbrace {} } } {}

Hay là :

max g ( y ) = b T y A T y c y R m tùy ý { alignl { stack { size 12{"max"" g" \( y \) =b rSup { size 8{T} } y} {} #alignl { stack { left lbrace A rSup { size 8{T} } y<= c {} # right none left lbrace y in R rSup { size 8{m} } " tùy ý " {} #right no } } lbrace {} } } {}

Định nghĩa đối ngẫu trong trường hợp quy hoạch tổng quát

Trong trường hợp quy hoạch tuyến tính tổng quát, những quy tắc sau đây được áp dụng để xây dựng bài toán đối ngẫu :

- Hàm mục tiêu đối ngẫu :

. max « min

- Biến đối ngẫu :

. Mỗi ràng buộc « một biến đối ngẫu

- Chi phí đối ngẫu và giới hạn ràng buộc :

. Chi phí đối ngẫu « giới hạn ràng buộc

- Ma trận ràng buộc đối ngẫu :

. Ma trận chuyển vị

- Chiều của ràng buộc và dấu của biến :

. Ràng buộc trong bài toán max có dấu £ thì biến đối ngẫu trong bài toán min có dấu ³ 0 ( trái chiều )

. Ràng buộc trong bài toán max có dấu = thì biến đối ngẫu trong bài toán min có dấu tùy ý.

. Ràng buộc trong bài toán max có dấu ³ thì biến đối ngẫu trong bài toán min có dấu £ 0 ( trái chiều )

. Biến của bài toán max có dấu ³ 0 thì ràng buộc đối ngẫu trong bài toán min có dấu ³ ( cùng chiều )

Questions & Answers

what is mutation
Janga Reply
what is a cell
Sifune Reply
how is urine form
Sifune
what is antagonism?
mahase Reply
classification of plants, gymnosperm features.
Linsy Reply
what is the features of gymnosperm
Linsy
how many types of solid did we have
Samuel Reply
what is an ionic bond
Samuel
What is Atoms
Daprince Reply
what is fallopian tube
Merolyn
what is bladder
Merolyn
what's bulbourethral gland
Eduek Reply
urine is formed in the nephron of the renal medulla in the kidney. It starts from filtration, then selective reabsorption and finally secretion
onuoha Reply
State the evolution relation and relevance between endoplasmic reticulum and cytoskeleton as it relates to cell.
Jeremiah
what is heart
Konadu Reply
how is urine formed in human
Konadu
how is urine formed in human
Rahma
what is the diference between a cavity and a canal
Pelagie Reply
what is the causative agent of malaria
Diamond
malaria is caused by an insect called mosquito.
Naomi
Malaria is cause by female anopheles mosquito
Isaac
Malaria is caused by plasmodium Female anopheles mosquitoe is d carrier
Olalekan
a canal is more needed in a root but a cavity is a bad effect
Commander
what are pathogens
Don Reply
In biology, a pathogen (Greek: πάθος pathos "suffering", "passion" and -γενής -genēs "producer of") in the oldest and broadest sense, is anything that can produce disease. A pathogen may also be referred to as an infectious agent, or simply a germ. The term pathogen came into use in the 1880s.[1][2
Zainab
A virus
Commander
Definition of respiration
Muhsin Reply
respiration is the process in which we breath in oxygen and breath out carbon dioxide
Achor
how are lungs work
Commander
where does digestion begins
Achiri Reply
in the mouth
EZEKIEL
what are the functions of follicle stimulating harmones?
Rashima Reply
stimulates the follicle to release the mature ovum into the oviduct
Davonte
what are the functions of Endocrine and pituitary gland
Chinaza
endocrine secrete hormone and regulate body process
Achor
while pituitary gland is an example of endocrine system and it's found in the Brain
Achor
what's biology?
Egbodo Reply
Biology is the study of living organisms, divided into many specialized field that cover their morphology, physiology,anatomy, behaviour,origin and distribution.
Lisah
biology is the study of life.
Alfreda
Biology is the study of how living organisms live and survive in a specific environment
Sifune
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Quy hoạch tuyến tính. OpenStax CNX. Aug 08, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10903/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Quy hoạch tuyến tính' conversation and receive update notifications?

Ask