<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Hoe om 'n vergelyking te kry as sy wortels bekend is

Ons het reeds genoem dat die wortels van 'n kwadratiese vergelyking die oplossing of antwoorde is wat jy kry deur die kwadratiese vergelyking op te los. Deur terug te werk vanaf die antwoorde, sal jy 'n vergelyking kry.

Kry 'n vergelyking met wortels 13 en -5.

  1. Die stap voor die oplossings gegee word sou wees:

    ( x - 13 ) ( x + 5 ) = 0

    Let op dat die tekens in die hakies die teenoorgestelde is as die van die gegewe wortels.

  2. x 2 - 8 x - 65 = 0

    Daar is natuurlik ander moontlike vergelykings ook wat gekry word as elke term aan elke kant van die gelyk aan teken met 'n konstante vermenigvuldig word.

Kry 'n vergelyking met wortels - 3 2 en 4

  1. Let op dat as x = - 3 2 dan 2 x + 3 = 0

    Daarom sal die twee hakies wees:

    ( 2 x + 3 ) ( x - 4 ) = 0
  2. Die vergelyking is:

    2 x 2 - 5 x - 12 = 0

Teorie van kwadratiese vergelykings - gevorderd

Hierdie afdeling is nie in die leerplan nie, maar dit gee mens 'n goeie begrip van party van die oplossings van die kwadratiese vergelykings.

Wat is die diskriminant van 'n kwadratiese vergelyking?

Beskou 'n algemene kwadratiese funksie in die form f ( x ) = a x 2 + b x + c . Die diskriminant word gedefinieer as:

Δ = b 2 - 4 a c .

Hierdie is die uitdrukking onder die vierkantswortel in die formule vir die wortels van die funksie. Ons het reeds gesien dat of die wortels bestaan ​​of nie daarvan afhang of die faktor Δ negatief of positief is nie.

Die aard van die wortels

Real roots ( Δ 0 )

Beskou Δ 0 vir 'n kwadratiese funksie in die vorm f ( x ) = a x 2 + b x + c . In hierdie geval is daar oplossing vir die vergelyking f ( x ) = 0 gegee deur die formule

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - b ± Δ 2 a

As die uitdrukking onder die vierkantswortel nie-negatief is, dan bestaan die vierkantswortel. Hierdie is die wortels van die funksie f ( x ) .

Die verskillende moontlikhede word opgesom in die figuur hieronder.

Gelyke wortels ( Δ = 0 )

As Δ = 0 , dan is die wortels gelyk, en vanaf die formule word dit gegee deur

x = - b 2 a

Ongelyke wortels ( Δ > 0 )

Daar sal 2 ongelyke wortels wees as Δ > 0 . Die wortels van f ( x ) is rationaal as Δ 'n volmaakte vierkant ('n getal wat die vierkant van 'n rasionale getal is) is. Die rede is dat in hierdie geval Δ rasionaal is. Anders, as Δ nie 'n volmaakte vierkant is nie, dan is the wortels irrasionaal .

Imaginêre wortels ( Δ < 0 )

As Δ < 0 , dan bevat die oplossing van f ( x ) = a x 2 + b x + c = 0 die vierkantswortels van 'n negatiewe getal en daarom is daar geen reële oplossings nie. Ons sê daarom dat die wortels van f ( x ) imaginêr is (die grafiek van die funksie f ( x ) sny nie die x -as nie).

Khan academy video on quadratics - 4

Teorie van kwadrate - gevorderde oefeninge

Vanaf ou vraestelle

  1. [IEB, Nov. 2001, HG] Gegee: x 2 + b x - 2 + k ( x 2 + 3 x + 2 ) = 0 ( k - 1 )
    1. Wys dat die diskriminant gegee word deur
      Δ = k 2 + 6 b k + b 2 + 8
    2. As b = 0 , bespreek die aard van die wortels van die vergelyking.
    3. As b = 2 , kry die waarde(s) van k waarvoor die wortels gelyk is.
  2. [IEB, Nov. 2002, HG] Wys dat k 2 x 2 + 2 = k x - x 2 nie-reële wortels het vir alle reele waardes van k .
  3. [IEB, Nov. 2003, HG] Die vergelyking x 2 + 12 x = 3 k x 2 + 2 het reële wortels.
    1. Kry die grootste heeltallige waarde van k .
    2. Kry een rasionale waarde van k waarvoor die bostaande vergelyking rasionale wortels het.
  4. [IEB, Nov. 2003, HG] In die kwadratiese vergelyking p x 2 + q x + r = 0 is p , q en r positiewe reële getalle en vorm 'n meetkundige ry. Bespreek die aard van die wortels.
  5. [IEB, Nov. 2004, HG] Beskou die vergelyking
    k = x 2 - 4 2 x - 5 met x 5 2
    1. Kry 'n waarde van k waarvoor die wortels gelyk is.
    2. Kry 'n heelgetal k waarvoor die wortels van die vergelyking rasionaal en ongelyk is.
  6. [IEB, Nov. 2005, HG]
    1. Bewys dat die wortels van die vergelyking x 2 - ( a + b ) x + a b - p 2 = 0 reëel is vir alle reële waardes van a , b en p .
    2. Wanneer sal die wortels van die vergelyking gelyk wees?
  7. [IEB, Nov. 2005, HG] As b en c slegs die waardes 1, 2 of 3 kan aanneem, bepaal alle pare ( b ; c ) sodat x 2 + b x + c = 0 reële wortels het.

Hoofstukoefeninge

  1. Los op: x 2 - x - 1 = 0 (Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.)
  2. Los op: 16 ( x + 1 ) = x 2 ( x + 1 )
  3. Los op: y 2 + 3 + 12 y 2 + 3 = 7 (Wenk: Stel y 2 + 3 = k . Los eerste vir k op and gebruik die antwoord om y op te los.)
  4. Los op vir x : 2 x 4 - 5 x 2 - 12 = 0
  5. Los op vir x :
    1. x ( x - 9 ) + 14 = 0
    2. x 2 - x = 3 (Wys jou antwoord korrek tot EEN desimale plek.)
    3. x + 2 = 6 x (korrek tot twee desimale plekke)
    4. 1 x + 1 + 2 x x - 1 = 1
  6. Los op vir x deur kwadraatsvoltooiing: x 2 - p x - 4 = 0
  7. Die vergelyking a x 2 + b x + c = 0 het wortels x = 2 3 en x = - 4 . Kry een stel moontlike waardes vir a , b en c .
  8. Die twee wortels van die vergelyking 4 x 2 + p x - 9 = 0 verskil met 5. Bereken die waarde van p .
  9. 'n Vergelyking van die vorm x 2 + b x + c = 0 word geskryf op die bord. Saskia en Sven skryf dit verkeerd af. Saskia het 'n fout in die konstante term en kry die oplossings -4 en 2. Sven het 'n fout in die koëffisiënt van x en kry die oplossings 1 en -15. Bepaal die korrekte vergelyking wat op die bord was.
  10. Bjorn kom in 'n oorsese handboek af op die volgende formule om die kwadratiese vergelyking a x 2 + b x + c = 0 op te los.
    x = 2 c - b ± b 2 - 4 a c
    1. Gebruik hierdie formule om die volgende vergelyking op te los:
      2 x 2 + x - 3 = 0
    2. Los die vergelyking weer op, die keer deur faktorisering, om te sien of die formule werk vir hierdie vergelyking.
    3. Bjorn probeer om hierdie formule af te lei om te bewys dat dit altyd werk, maar sit na 'n paar stappe vas. Hieronder is sy poging:
      a x 2 + b x + c = 0 a + b x + c x 2 = 0 Deel deur x 2 waar x ? 0 c x 2 + b x + a = 0 Herrangskik 1 x 2 + b c x + a c = 0 Deel deur c waar c ? 0 1 x 2 + b c x = - a c Trek a c af van beide kante ? 1 x 2 + b c x + ... Sit vas
      Voltooi sy afleiding.

Questions & Answers

what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask