7.5 Espacios de hilbert comunes

Espacios de hilbert comunes

A continuación veremos los cuatro Espacios de Hilbert mas comunes con los que usted tendráque tratar para la discusión y manipulación de señales y sistemas:

$\mathbb{R}^n$ (escalares reales ) y $\mathbb{C}^n$ (escalares complejos), también llamado ${\ell }^2(\left[0 , n-1\right])$

$x=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ \dots \\ x_{n-1}\end{array}\right)$ Es una lista de números (secuencia finita). El producto interno para nuestros dos espacios son las siguientes:

• Producto interno $\mathbb{R}^n$ :
  $x\cdot y=y^Tx=\sum_{i=0}^{n-1} x_i{y}_i$
• Producto interno $\mathbb{C}^n$ :
  $x\cdot y=\overline{y^T}x=\sum_{i=0}^{n-1} x_i\overline{y_i}$

Modelo para: Señal de tiempo discreto en el intervalo $\left[0 , n-1\right]$ o Señal Periódica (con periodo $n$ ) de tiempo discreto. $\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ \dots \\ x_{n-1}\end{array}\right)$

$f\in L^2(\left[a , b\right]())$ es una función de energía finita en $\left[a , b\right]$

$x\in {\ell }^2(\mathbb{Z})$ es una secuencia infinita de números que son cuadrados sumables

$f\in L^2(\mathbb{R})$ es una una función de energía finita en todo $\mathbb{R}$ .

AnÁLisis de fourier asociado

Cada uno de estos cuatro espacios de Hilbert tiene un análisis de Fourier asociado con el.

• $L^2(\left[a , b\right])$ →Series de Fourier
• ${\ell }^2(\left[0 , n-1\right]())$ →Transformada Discreta de Fourier
• $L^2(\mathbb{R})$ →Transformada de Fourier
• ${\ell }^2(\mathbb{Z})$ →Transformada Discreta de Fourier en Tiempo

Los espacios de Hilbert son en gran medida los más agradables, si se usa o estudia la expansión de bases ortonormales entonces usted empezara a ver por que esto es cierto.