4.2 Faktorisering en breke  (Page 4/4)

As ons 'n ewe getal vermenigvuldig met 'n onewe getal, kry ons 'n ewe getal. Net so, as ons 'n onewe getal vermenigvuldig met 'n ewe getal, kry ons 'n ewe getal. Verder is 'n ewe getal vermenigvuldig met 'n ewe getal altyd ewe, en 'n onewe getal vermenigvuldig met 'n onewe getal, onewe. Hierdie resultaat word gewys in die volgende tabel:

As ons 3 opeenvolgende getalle met mekaar vermenigvuldig, sal die antwoord altyd deelbaar wees deur 3. Dit behoort voor die handliggend te wees want as ons enige 3 opeenvolgende getalle het, sal een van hulle altyd deelbaar wees deur 3.

Nou is ons gereed om te bewys dat $n^2+n$ ewe is vir alle $n\in {Z}$ . As ons hierdie uitdrukking faktoriseer, kry ons $n(n+1)$ . As $n$ ewe is, dan is $n+1$ onewe. As $n$ onewe is, dan is $n+1$ ewe. Aangesien ons weet dat as ons 'n ewe getal met 'n onewe getal vermenigvuldig, of 'n onewe getal met 'n ewe getal, kry ons 'n ewe getal, het ons gedemonstreer dat $n^2+n$ altyd ewe is. Probeer dit met 'n paar waardes van $n$ en jy sal vind dat dit waar is.

Om te demonstreer dat $n^3-n$ deelbaar is deur 6 vir alle $n\in {Z}$ , let ons eerstens op dat die faktore van 6, 3 en 2 is. Dus, as ons wys dat $n^3-n$ deelbaar is deur beide 3 en 2, dan het ons aangetoon dat dit ook deelbaar is deur 6! As ons die uitdrukking faktoriseer, kry ons $n(n+1)(n-1)$ . Nou sien ons dat as ons drie opeenvolgende getalle met mekaar vermenigvuldig, dan neem ons $n$ en tel dan 1 by of trek 1 af. Dit gee ons die twee getalle weerskante van $n$ . Byvoorbeeld, as $n=4$ , dan $n+1=5$ en $n-1=3$ . Maar ons weet dat as ons drie opeenvolgende getalle met mekaar vermenigvuldig, is die antwoord altyd deelbaar deur 3. Dus het ons gedemonstreer dat $n^3-n$ altyd deelbaar is deur 3. Deur aan te toon dat dit deelbaar is deur 2, kan ons ook bewys dat dit ewe is. Ons het gewys dat $n^2+n$ altyd ewe is. Nou moet ons herroep wat ons gesê het oor die vermenigvuldiging van ewe en onewe getalle. Aangesien die een getal altyd ewe is en die ander een ewe of onewe kan wees, sal die resultaat van die vermenigvuldiging van hierdie getalle, altyd ewe wees. Dus het ons gedemonstreer dat $n^3-n$ deelbaar is deur 6 vir alle $n\in {Z}$ .

Opsomming

• 'n Binomiaal is 'n wiskundige uitdrukking met twee terme. Die produk van twee identiese binomiale staan bekend as die vierkant of kwadraat van die binomiaal. Die verskil tussen twee kwadrate kry ons wanneer ons vermenigvuldig $(ax+b)(ax-b)$
• Faktorisering is die teenoorgestelde van die uitbreiding van hakies. Ons kan gemeenskaplike faktore of die verskil tussen twee kwadrate gebruik om ons te help om uitdrukkings te faktoriseer.
• Die distributiewe wet ( $$(A+B)(C+D+E)=A(C+D+E)+B(C+D+E)$$ ) help ons om 'n binomiaal en 'n trinomiaal te vermenigvuldig.
• Die som van derdemagte is: $$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$$ en die verskil van derdemagte is: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$
• Om 'n kwadratiese drieterm te faktoriseer, moet ons die twee binomiale vind wat met mekaar vermenigvuldig is om die kwadratiese drieterm te gee.
• Ons kan ook 'n drieterm faktoriseer deur groepering. Dit is wanneer ons 'n gemene faktor vind in elke term van die drieterm, dit uithaal en sien wat oorbly.
• Ons kan breuke vereenvoudig deur gebruik te maak van die metodes wat ons gebruik het om uitdrukkings mee te faktoriseer.
• Breuke kan bymekaargetel of van mekaar afgetrek word. Om dit te kan doen, moet al die breuke dieselfde noemers hê.

Einde van die hoofstuk oefeninge

1. Faktoriseer:
   1. $a^2-9$
   2. $m^2-36$
   3. $9b^2-81$
   4. $16b^6-25a^2$
   5. $m^2-(1/9)$
   6. $5-5a^2{b}^6$
   7. $16b{a}^4-81b$
   8. $a^2-10a+25$
   9. $16b^2+56b+49$
   10. $2a^2-12ab+18b^2$
   11. $-4b^2-144b^8+48b^5$
2. Faktoriseer volkome:
   1. $\left(16-x^4\right)$
   2. ${\mathrm{7x}}^2-\mathrm{14x}+\mathrm{7xy}-\mathrm{14y}$
   3. $y^2-\mathrm{7y}-30$
   4. $1-x-x^2+x^3$
   5. $-3\left(1-p^2\right)+p+1$
3. Vereenvoudig die volgende:
   1. ${(a-2)}^2-a(a+4)$
   2. $(5a-4b)(25a^2+20\mathrm{ab}+16b^2)$
   3. $(2m-3)(4m^2+9)(2m+3)$
   4. $(a+2b-c)(a+2b+c)$
4. Vereenvoudig die volgende:
   1. $\frac{p^2-q^2}{p}÷\frac{p+q}{p^2-\mathrm{pq}}$
   2. $\frac{2}{x}+\frac{x}{2}-\frac{2x}{3}$
5. Wys dat ${(2x-1)}^2-{(x-3)}^2$ vereenvoudig kan word tot $(x+2)(3x-4)$
   
   
6. Bepaal wat moet by $x^2-x+4$ getel word sodat dit gelyk is aan ${(x+2)}^2$