<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Die trigonometriese funksies vir enige hoek

Tot dusver het ons die trigonometriese funksies gedefinieer deur gebruik te maak van reghoekige driehoeke. Ons kan nou hierdie definisies uitbrei na alle hoeke. Ons kry dit reg deur daarop te let dat die definisies nie afhanklik is van die lengtes van die sye van die driehoek nie, maar slegs bepaal word deur die hoekgootte. So, as ons enige punt op die Cartesiese vlak merk en 'n lyn trek vanaf daardie punt na die oorsprong, kan ons werk met die hoek tussen daardie lyn en die x-as. In [link] is punte P en Q gemerk. 'n Lyn is getrek vanaf die oorsprong na elk van die punte. Die stippellyne toon hoe ons reghoekige driehoeke kan konstureer vir elke punt. Nou kan ons hoeke A en B vind.

Jy sal vind hoek A is 63 , 43 . Vir hoek B, moet jy eers vir x = 33 , 69 bereken en dan is B = 180 - 33 , 69 = 146 , 31 . Maar, gestel ons dit wil doen sonder om hierdie hoeke uit te werk en vas te stel of ons 180 grade of 90 grade moet bytel of aftrek? Kan ons trigonometriese funksies gebruik om dit te doen? Beskou punt P in [link] . Om die hoek te vind, sou jy een van die trigonometriese funksies gebruik het, naamlik tan θ . Let op, die sy wat aangrensend is aan die hoek, is die x-koördinaat en die sy teenoor die hoek is die y-koördinaat. Maar wat van die skuinssy? Ons kan dit vind deur die Stelling van Pythagoras te gebruik aangesien ons die twee reghoeksye van 'n reghoekige driehoek het. As ons 'n sirkel trek met die oorsprong as middelpunt, dan is die lengte vanaf die oorsprong na punt P die radius van die sirkel, wat ons aandui met r. Nou kan ons al ons trigonometriese verhoudings herskryf in terme van x, y en r. Maar hoe help dit ons om B te kry? Vanaf punt Q na die oorsprong is r en ons het die koördinate van Q. Ons gebruik nou eenvoudig ons nuut-gedefinieërde trigonometriese funksies om B te bereken! (Probeer dit self en bevestig dat jy dieselfde antwoord kry as vantevore). Wanneer ons anti-kloksgewys om die oorsprong beweeg, is die hoeke positief en wanneer ons kloksgewys draai in die Cartesiese vlak, is die hoeke negatief.

Ons kry dus die volgende definisies vir die trigonometriese funksies:

sin θ = x r cos θ = y r tan θ = y x

Gestel die x-koördinaat of die y-koördinaat is negatief. Ignoreer ons dit, of is daar 'n manier om dit in berekening te bring? Die antwoord is dat ons dit nie ignoreer nie: Die teken voor die x- of y-koördinaat bepaal of sin, cos en tan positief of negatief is. Die Cartesiese vlak is verdeel in kwadrante en ons gebruik dan [link] om vir ons aan te dui of die trigonometriese funksie positief of negatief is. Die diagram staan bekend as die CAST diagram.

Op dieselfde wyse kan ons die definisies uitbrei na die resiprookfunksies:

cosec θ = r x sec θ = r y cot θ = x y

Punt R(-1;-3) en punt S(3;-3) is aangedui op die diagram hieronder. Vind die hoeke α en β .

  1. Ons het die koördinate van punte R en S en ons moet die groottes van die twee hoeke vind. Hoek β is positief en hoek α is negatief.

  2. Ons gebruik tan om β te vind, aangesien ons slegs x en y het. Ons sien die hoek lê in die derde kwadrant, waar tan positief is.

    tan ( β ) = y x tan ( β ) = - 3 - 1 β = tan - 1 ( 3 ) β = 71 , 57
  3. Ons gebruik tan om α te bereken aangesien ons x en y het. Die hoek is in die vierde kwadrant, waar tan negatief is.

    tan ( α ) = y x tan ( α ) = - 3 3 α = tan - 1 ( - 1 ) α = - 45
  4. Hoek α is - 45 en hoek β is 71 , 57

Questions & Answers

what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]. OpenStax CNX. Aug 04, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11328/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]' conversation and receive update notifications?

Ask