7.6 Tipos de bases

Dada la siguiente base: $$\{b_0, b_1\}=\{\begin{pmatrix}1\\ 1\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ -1\\ \end{pmatrix}\}$$ Normalizado con la norma ${\ell }^2$ : $${\tilde{b}}_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ \end{pmatrix}$$ $${\tilde{b}}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ \end{pmatrix}$$ Normalizado con la norma ${\ell }^1$ : $${\tilde{b}}_0=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ \end{pmatrix}$$ $${\tilde{b}}_1=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ \end{pmatrix}$$

Base canónica para ${ℝ}^2$ , también referida como ${\ell }^2(\left[0 , 1\right])$ : $$b_0=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ \end{pmatrix}$$ $$b_1=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ \end{pmatrix}$$ $$b_0\cdot b_1=\sum_{i=0}^1 b_0(i)b_1(i)=1\times 0+0\times 1=0$$

Ahora tenemos la siguiente base y relación: $$\{\begin{pmatrix}1\\ 1\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ -1\\ \end{pmatrix}\}=\{h_0, h_1\}$$ $$h_0\cdot h_1=1\times 1+1\times -1=0$$

Ejemplo de base ortonormal #1

$$\{b_0, b_2\}=\{\begin{pmatrix}1\\ 0\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1\\ \end{pmatrix}\}$$

Ejemplo de base ortonormal #2

$$\{b_0, b_2\}=\{\begin{pmatrix}1\\ 1\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ -1\\ \end{pmatrix}\}$$

Ejemplo de base ortonormal #3

$$\{b_0, b_2\}=\{\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ \end{pmatrix}\}$$

Dada la siguiente base: $$\{b_0, b_1\}=\{\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ \end{pmatrix}\}$$ representa $x=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ \end{pmatrix}$

Serie de fourier levemente modificada

Dada la base $$(n, )$$∞ ∞ 1 T ω 0 n t en $L^2(\left[0 , T\right]())$ donde $T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ . $$f(t)=\sum$$∞ ∞ f ω 0 n t ω 0 n t 1 T Donde podemos calcular el producto interior de arriba en $L^2$ como $$f\cdot e^{i{\omega }_{0}nt}=\frac{1}{\sqrt{T}}\int_0^T f(t)\overline{e^{i{\omega }_{0}nt}}\,d t=\frac{1}{\sqrt{T}}\int_0^T f(t)e^{-(i{\omega }_{0}nt)}\,d t$$