Este modulo discute los diferentes tipos de base, lo que nos conduce a la definición de base ortonormal. Son dados algunos ejemplos de la base ortonormal y sus usos también son discutidos.
Base normada
Base Normada
- una
base
donde cada
tiene una norma unitaria
El concepto de bases se aplica a todos los
espacios vectoriales . El concepto de
base normada se aplica solo a
espacios normados .
También usted puede normalizar una base: solo multiplique cada vector de la base por una constante, tal que
Dada la siguiente base:
Normalizado con la norma
:
Normalizado con la norma
:
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Base ortogonal
Base Ortogonal
- una base
en donde los elementos son
mutuamente ortogonales
El concepto de base ortogonal se aplica solo a los
Espacios de Hilbert .
Base ortonormal
Colocando las dos secciones (definiciones) anteriores juntas, llegamos al tipo de base más importante yútil:
Base Ortonormal
- Una base que es
normalizada y
ortogonal
podemos acortar los dos argumentos en uno solo:
donde
Donde
re refiere a la
función delta Kronecker que también es escrita como
.
La belleza de las bases ortonormales
Trabajar con las bases Ortonormales es sencillo.Si
es una base ortonormal, podemos escribir para cualquier
Es fácil encontrar los
:
En donde en la ecuación anterior podemos usar el conocimiento de la función delta para reducir la ecuación:
Por lo tanto podemos concluir con la siguiente ecuación importante para
:
Los
's son fáciles de calcular (sin interacción entres los
's)
Serie de fourier levemente modificada
Dada la base
en
donde
.
Donde podemos calcular el producto interior de arriba en
como
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7.7.3.2 expansiÓN de una base ortonormal en un espacio hilbert
Sea
una base ortonormal para un espacio de Hilbert
. Entonces, para cualquier
podemos escribir
donde
.
- “Análisis”: descomponer
en términos de
- "Síntesis": construir
de una combinación de las