0.5 Tính ổn định của hệ thống  (Page 4/4)

s4 + s3 - s - 1 = 0

Bảng Routh :

s4 1 0 -1 0

s3 1 -1 0 0

s2 1 -1 0

s1 0 0

s0 -1

Hệ số ở hàng s0 được tính bằng cách thay 0 ở hàng s1 bằng , rồi tính hệ số của hàng s0 như sau :

$\frac{\epsilon (-1)-0}{\epsilon }=-1$

Cần phương cách này khi có một zero ở cột một. Vì có một lần đổi dấu ở cột một, nên phương trình đặc trưng có một nghiệm có phần thực dương. Do đó, hệ thống không ổn định.

Tiêu chuẩn hurwitz

Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz là phương pháp khác để xác định tất cả nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm hay không . Tiêu chuẩn này được áp dụng thông qua việc sử dụng các định thức tạo bởi những hệ số của phương trình đặc trưng.

Giả sử hệ số thứ nhất, an dương. Các định thức Ai với i = 1, 2, .... , n-1 được tạo ra như là các định thức con (minor determinant) của định thức :

Các định thức con được lập nên như sau :

$\begin{array}{}{\Delta }_1=a_{n-1}\\ {\Delta }_2=\left[\begin{array}{cc}{a}_{n-1}& a_{n-3}\\ a_n& a_{n-2}\end{array}\right]=a_{n-1}{a}_{n-2}-a_n{a}_{n-3}\\ {\Delta }_3=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}\\ a_n& a_{n-2}& a_{n-4}\\ 0& a_{n-1}& a_{n-3}\end{array}\right]=a_{n-1}{a}_{n-2}{a}_{n-3}+a_n{a}_{n-1}{a}_{n-5}\\ -a_n{a}_{n-3}^2-a_{n-4}{a}_{n-1}^2\end{array}$

Và tăng dần đến ?n

Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu và chỉ nếu ?i>0 với i = 1 , 2 , …… , n.

* Thí dụ 6 -10: Với n = 3

${\Delta }_3=\mid \begin{array}{ccc}{a}_2& a_0& 0\\ a_3& a_1& 0\\ 0& a_2& a_0\end{array}\mid =a_2{a}_1{a}_0-a_0^2{a}_3$

${\Delta }_2=\mid \begin{array}{cc}{a}_2& a_0\\ a_3& a_1\end{array}\mid =a_2{a}_1-a_0{a}_3$

${\Delta }_1=a_2$

Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu

a2>0 , a2 a1 – a0 a3>0

a2 a1 a0 – a02 a3>0

* Thí dụ 6 -11 : Xét sự ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng

s3 + 8s2 + 14s + 24 = 0

Lập các định thức Hurwitz

${\Delta }_3=\mid \begin{array}{ccc}8& \text{24}& 0\\ 1& \text{14}& 0\\ 0& 8& \text{24}\end{array}\mid =\text{88}\times \text{24}>0$

${\Delta }_2=\mid \begin{array}{cc}8& \text{24}\\ 1& \text{14}\end{array}\mid =\text{88}>0$

${\Delta }_1=8>0$

Các định thức đều lớn hơn không, các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực âm, nên hệ thống ổn định.

* Thí dụ 6 –12 : Với khoãng giá trị nào của k thì hệ thống sau đây ổn định :

s2 + ks + ( 2k – 1 ) = 0

${\Delta }_2=\mid \begin{array}{cc}k& 0\\ 1& \mathrm{2k}-1\end{array}\mid =k(\mathrm{2K}-1)$

${\Delta }_1=k$

k (2k -1)>0 k>0

Để hệ ổn định, cần có :

Vậy $k>\frac{1}{2}$

* Thí dụ 6 – 13 :

Một hệ thống thiết kế đạt yêu cầu khi mạch khuếch đại của nó có độ lợi k = 2 . Hãy xác định xem độ lợi này có thể thay đổi bao nhiêu trước khi hệ thống trở nên bất ổn, nếu phương trình đặc trưng của hệ là :

s3+ s2 (4+k) + 6s + 16 + 8k = 0

• Thay các tham số của phương trình đã cho vào điều kiện Hurwitz tổng quát ở thí dụ 6 –10. Ta được những điều kiện để hệ ổn định :

4 + k>0 , (4+k)6 – (16+8k)>0

(4+k) 6 (16+8k) – (16 + 8k)2>0

Giã sử độ lợi k không thể âm, nên điều kiện thứ nhất thỏa.

Điều kiện thứ nhì và thứ ba thỏa nếu k<4

Vậy với một độ lợi thiết kế có giá trị là 2, hệ thống có thể tăng độ lợi lên gấp đôi trước khi nó trở nên bất ổn.

Độ lợi cũng có thể giãm xuống không mà không gây ra sự mất ổn định.

Bài tập chương vi

VI. 1 Xem nghiệm của phương trình đặc trưng của vài hệ thống điều khiển dưới đây. Hãy xác định trong mỗi trường hợp sự ổn định của hệ. (ổn định, ổn định lề, hay bất ổn)

1. –1 ,-2 f) 2 , -1 , -3
2. –1 , +1 g) -6 , -4 , 7
3. –3 , +2 h) -2 + 3j , -2 – 3j , -2
4. –1 + j , -1 – j i) -j , j , -1 , 1
5. –2 +j , -2 – j
6. 2 , -1 , -3

VI. 2 Môït hệ thống có các cực ở –1 , -5 và các zero ở 1, -2 . Hệ thống ổn định không?

VI. 3 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng :

(s + 1) (s + 2) (s - 3) = 0

VI. 4 Phương trình của một mạch tích phân được viết bởi :

dy/dt = x

Xác định tính ổn định của mạch tích phân.

VI. 5 Tìm đáp ứng xung lực của hệ thống có hàm chuyễn :

$G(s)=\frac{s^2+\mathrm{2s}+2}{(s+1)(s+2)}$

Xét tính ổn định của hệ dựa vào định nghĩa.

VI. 6 Khai triển G(s) thành phân số từng phần. Rồi tìm đáp ứng xung lực và xét tính ổn định.

a) $G(s)=\frac{-(s^2+s-2)}{s(s+1)(s+2)}$

b) $G(s)=\frac{s^2+9s+\text{19}}{s(s+1)(s+2)(s+4)}$

VI. 7 Dùng kỹ thuật biến đổi laplace, tìm đáp ứng xung lực của hệ thống diễn tả bởi phương trình vi phân :

$\frac{d^{3}y}{{\text{dt}}^3}+\frac{\text{dy}}{\text{dt}}=x$ ĐS : y(t) = 1 – cost

VI. 8 Xác định tất cả các cực và zero của :

$G(s)=\frac{s^2-\text{26}}{s^5-{\mathrm{7s}}^4-\text{30}{s}^3}$ ĐS : s3 (s+3)(s-10)

VI. 9 Với mổi đa thức đặc trưng sau đây, xác định tính ổn định của hệ thống.

1. 2s4 +8s3 + 10s2 + 10s + 20 = 0
2. s3 + 7s2 + 7s + 46 = 0
3. s5 + 6s4 + 10s2 + 5s + 24 = 0
4. s3 - 2s2 + 4s + 6 = 0
5. s4 +8s3 + 24s2 + 32s + 16 = 0
6. s6 + 4s4 + 8s2 + 16 = 0 ĐS : b , f : ổn định

VI.10 với giá trị nào của k làm cho hệ thống ổn định, nếu đa thức đặc trưng là :

s3+ (4+k) s2+ 6s + 12 = 0 ĐS : k>2

VI. 11 có bao nhiêu nghiệm có phần thực dương, trong số các đa thức sau đây :

1. s3 + s2 - s + 1
2. s4 +2s3 + 2s2 + 2s + 1
3. s3 + s2 – 2
4. s4 - s2 - 2s + 2
5. s3 + s2 + s + 6 ĐS : a(2) , b(0) , c(1) , d(2) , e(2)

VI. 12 Với giá trị dương nào của k làm cho đa thức :

s4 +8s3 + 24s2 + 32s + k = 0

Có các nghiệm với phần thực là zero? Đó là những nghiệm nào?

ĐS : k = 80 , s = ± j2

VI. 13 Hệ thống có phương trình đặc trưung sau đây thì ổnh định?

s4 +3s3 + 6s2 + 9s + 12 = 0

VI. 14 Xác định hàm chuyễn và tìm điều kiện để mạch sau đây ổn định.

ĐS : $\frac{v_0(s)}{v_i(s)}=\frac{(s+\frac{1}{R_1{C}_1})(s+\frac{1}{R_2{C}_2})}{s^2+(\frac{1}{R_2{C}_2}+\frac{1}{R_2{C}_1}+\frac{1}{R_1{C}_1})s+\frac{1}{R_1{C}_1{R}_2{C}_2}}$

VI. 15 Xác định hàm chuyễn và tìm điều kiện để mạch sau đây ổn định.

ĐS : $\frac{v_0(s)}{v_i(s)}=\frac{1}{R_1{R}_2{C}_1{C}_2{s}^2+(R_1{C}_1+R_1{C}_2+R_2{C}_2)s+1}$

(Dùng bảng Routh)

VI.16 Xác định những điều kiện Hurwith cho sự ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng cấp 4. Giả sử a4>0

a4 s4 + a3 s3 + a2 s2 + a1 s + a0 = 0

ĐS : a3>0 , a3 a2­ – a4 a1­>0 , a3 a2­a1 – a0 a3­2 – a4 a1­2>0

a3 (a2­a1a0 – a3 a0­2 ) – a0 a1­2 a4>0

*****************