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Concepto de proceso aleatorio, procesos estacionarios y ergódicos.

Un Proceso Aleatorio se define como el conjunto de señales provenientes de realizar un determinado experimento o de un evento de la naturaleza. La naturaleza aleatoria del experimento proviene del desconocimiento de cuál de las señales se obtendrá al realizar el experimento. Para caracterizar los Procesos Aleatorios se definen diversas variables aleatorias como la secuencia de valores de las diversas señales evaluadas en tiempos específicos. Así se puede hablar de x(t1), x(t2), etc. Procesos Aleatorios pueden ser continuos o discretos. Los casos especiales para Procesos Aleatorios mayormente utilizados en el ámbito de las comunicaciones son los Procesos Estacionarios y los Procesos Ergódicos.

Función de densidad de probabilidades

La Función de Densidad de Probabilidades es una función que, al integrarse entre un límite inferior (L1) y un límite superior (L2), indica la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores entre L1 y L2; el área total definida por la función de densidad de probabilidades es igual a 1. Existen varios tipos de distribución, como uniforme, gaussiana, exponencial, entre otras. La figura 1 muestra la función de densidad de probabilidades para una distribución gaussiana y una distribución uniforme respectivamente, el área pintada en azul claro representa el valor de la probabilidad de que la variable tome valores entre L1 y L2:

Función de Densidad de Probabilidades Gaussiana y Uniforme

El concepto de función de densidad de probabilidades puede generalizarse a más de una variable, convirtiéndose en una función n-dimensional denominada Función de Densidad de Probabilidades Conjunta.

Procesos estacionarios

Si la función de densidad de probabilidades aplicada a una señal aleatoria en cierto instante es igual si la misma se desplaza cualquier valor de tiempo, se dice que representa un proceso estacionario de primer orden, resumiendo:

fdp x ( t ) = fdp x ( t + τ ) size 12{ ital "fdp" left (x \( t \) right )= ital "fdp" left (x \( t+τ \) right )} {}

Tomándose en cuenta dos variables aleatorias de un mismo proceso: x(t 1 ) y x(t 2 ), si la función de densidad de probabilidades conjunta aplicada a ambas variables aleatorias es igual si para un desplazamiento de tiempo cualquiera, se dice que el proceso es estacionario de segundo orden:

fdp x 1 ( t ) , x 2 ( t ) = fdp x 1 ( t + τ ) , x 2 ( t + τ ) size 12{ ital "fdp" left (x rSub { size 8{1} } \( t \) ,x rSub { size 8{2} } \( t \) right )= ital "fdp" left (x rSub { size 8{1} } \( t+τ \) ,x rSub { size 8{2} } \( t+τ \) right )} {}

En general, se dice que un proceso es estacionario de orden N si se cumple que:

fdp x 1 ( t ) , x 2 ( t ) . . . x N ( t ) = fdp x 1 ( t + τ ) , x 2 ( t + τ ) . . . x N ( t + τ ) size 12{ ital "fdp" left (x rSub { size 8{1} } \( t \) ,x rSub { size 8{2} } \( t \) "." "." "." x rSub { size 8{N} } \( t \) right )= ital "fdp" left (x rSub { size 8{1} } \( t+τ \) ,x rSub { size 8{2} } \( t+τ \) "." "." "." x rSub { size 8{N} } \( t+τ \) right )} {}

Cualquier proceso estacionario de cierto orden, será estacionario en órdenes inferiores.

Procesos ergódicos

Un proceso aleatorio es ergódico respecto al primer momento si el promedio estadístico (o valor esperado E[x(t)]) y el promedio temporal (<x(t)>) coinciden; resumiendo:

x ( t ) fdp x ( t ) dx ( t ) = lim T 1 T T x ( t ) d ( t ) size 12{ Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } {x \( t \) ital "fdp" left (x \( t \) right ) ital "dx" \( t \) } = {"lim"} cSub { size 8{T rightarrow infinity } } { {1} over {T} } Int cSub { size 8{T} } {x \( t \) d \( t \) } } {}

Generalizando, se define la ergodicidad en orden N:

x N ( t ) fdp x ( t ) dx ( t ) = lim T 1 T T x N ( t ) d ( t ) size 12{ Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } {x rSup { size 8{N} } \( t \) ital "fdp" left (x \( t \) right ) ital "dx" \( t \) } = {"lim"} cSub { size 8{T rightarrow infinity } } { {1} over {T} } Int cSub { size 8{T} } {x rSup { size 8{N} } \( t \) d \( t \) } } {}

Cualquier proceso ergódico de cierto orden, es estacionario en ese mismo orden, además será ergódico en órdenes inferiores. Para procesos ergódicos de segundo orden se cumple que:

  • El nivel DC de la señal es igual al 1er momento: x ( t ) size 12{ langle x \( t \) rangle } {}
  • La potencia promedio total de la señal es igual al 2do momento: x 2 ( t ) size 12{ langle x rSup { size 8{2} } \( t \) rangle } {}
  • La potencia AC de la señal se conoce como varianza: x 2 ( t ) x ( t ) 2 size 12{ langle x rSup { size 8{2} } \( t \) rangle - langle x \( t \) rangle rSup { size 8{2} } } {}

Autocorrelación

La Autocorrelación es una función que indica la relación que tiene el valor que toma una señal en un momento específico con sus vecinos temporales. El concepto de Autocorrelación se aplica para señales determinísticas y aleatorias aunque para estas últimas es una herramienta insustituible si el Proceso es Ergódico; la expresión para la misma corresponde con el valor esperado de la multiplicación de la señal en un tiempo t 1 por la misma señal en un tiempo t 2 :

x = E x ( t 1 ) x ( t 2 ) = E x ( t ) x ( t + τ ) size 12{ Re rSub { size 8{x} } =E left [x \( t rSub { size 8{1} } \) x \( t rSub { size 8{2} } \) right ]=E left [x \( t \) x \( t+τ \) right ]} {}

La variable τ de la función de autocorrelación hace referencia a la diferencia entre los instantes de tiempo involucrados t1 y t2. Si el proceso es ergódico, puede sustituirse la expresión para el valor esperado por la expresión para el promedio temporal como indica la ecuación 4, quedando así una expresión determinística:

x ( τ ) = lim T 1 T T x ( t ) x ( t τ ) d ( t ) size 12{ Re rSub { size 8{x} } \( τ \) = {"lim"} cSub { size 8{T rightarrow infinity } } { {1} over {T} } Int cSub { size 8{T} } {x \( t \) x \( t - τ \) d \( t \) } } {}

Densidad espectral de potencia (dep):

La DEP de una señal indica cómo está distribuida la potencia de la señal en función de la frecuencia. Para Procesos Ergódicos corresponde con la Transformada de Fourier de la función de autocorrelación y su área coincide con la potencia promedio total de la señal, y coincide a su vez la autocorrelación en τ=0.

Questions & Answers

where we get a research paper on Nano chemistry....?
Maira Reply
what are the products of Nano chemistry?
Maira Reply
There are lots of products of nano chemistry... Like nano coatings.....carbon fiber.. And lots of others..
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Even nanotechnology is pretty much all about chemistry... Its the chemistry on quantum or atomic level
learn
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da
no nanotechnology is also a part of physics and maths it requires angle formulas and some pressure regarding concepts
Bhagvanji
Preparation and Applications of Nanomaterial for Drug Delivery
Hafiz Reply
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Application of nanotechnology in medicine
what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
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Professor
Nasa has use it in the 60's, copper as water purification in the moon travel.
Alexandre
nanocopper obvius
Alexandre
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
if virus is killing to make ARTIFICIAL DNA OF GRAPHENE FOR KILLED THE VIRUS .THIS IS OUR ASSUMPTION
Anam
analytical skills graphene is prepared to kill any type viruses .
Anam
Any one who tell me about Preparation and application of Nanomaterial for drug Delivery
Hafiz
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
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Jobilize.com Reply

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas en matlab y labview. OpenStax CNX. Sep 23, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11361/1.4
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