1.1 Maak wiskunde makliker met eksponente

• Bespreek nou hierdie twee probleme en maak nog twee reëls vir hierdie gevalle.

1.1 $\frac{a^3}{a^3}$

1.2 $\frac{a^3}{a^5}$

2. AS DIE EKSPONENT NUL IS

• Die antwoord van 1.1 is a ⁰ as ons die reël vir deling toepas.
• Ons weet egter goed dat die antwoord 1 moet wees, omdat ons teller en noemer dieselfde is.
• Dus kan ons sê dat enige uitdrukking met ’n eksponent wat nul is, gelyk aan 1 moet wees.
• Die reël sê: a ⁰ = 1 ook 1 = a ⁰ . ’n Paar voorbeelde:

3 ⁰ = 1 k ⁰ = 1 ( ab ² ) ⁰ = 1 ( n +1) ⁰ = 1 ${\left(\frac{a^{3}b}{{\left({\text{ab}}^2\right)}^2}\right)}^0=1$ en

1 = (enigiets) ⁰ m.a.w. ons kan ’n 1 verander in iets wat ons pas, indien nodig!

3. AS DIE EKSPONENT NEGATIEF IS

• Kyk nou na vraag 1.2. Die antwoord is a ^–2 . Maar wat beteken dit?
• $\frac{a^3}{a^5}=\frac{aaa}{aaaaa}=\frac{1}{aa}=\frac{1}{a^2}$ . Dus is die reël: $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ en andersom.
• Van nou af probeer ons om sover moontlik antwoorde slegs met positiewe eksponente te skryf.
• Ons kan ook sê: $\frac{1}{a^{-x}}=a^x$ en andersom. Hier is belangrike voorbeelde:

${\text{ab}}^2{c}^{-3}=\frac{{\text{ab}}^2}{c^3}$

$2x^{-m}y=\frac{\mathrm{2y}}{x^m}$

einde van KLASWERK

HUISWERKOPDRAG

• Vereenvoudig sonder ’n sakrekenaar en laat antwoorde sonder negatiewe eksponente.

1. $x^3{y}^2{3}^2{x}^{2}y2{\text{xy}}^4$

2. $\frac{x^4}{3{\text{xy}}^2}\frac{{\mathrm{6x}}^2}{x^{3}y}{\text{2x}}^7{y}^3\times \frac{4x^2{y}^4}{\mathrm{2y}}$

3. ${\left(5^x\right)}^3-{\left(5^3\right)}^x$

4. ${\left(2a^2{b}^5{c}^{3}d\right)}^{2}2a{\left({\text{bc}}^{2}d\right)}^{3}4\text{ab}{\left({\text{cd}}^3\right)}^2$

5. $6{\left(\frac{x^2}{y}\right)}^2{\left(\frac{\mathrm{2x}}{y^3}\right)}^3\frac{x^4}{3\text{xy}}$

6. ${\left(2a^2\right)}^3+{\left(\text{12}{a}^3\right)}^0-8a^6$

7. $x^3{y}^{-4}{\left(3^{-1}{x}^2{y}^{-1}\right)}^{-3}{\left(2{\text{xy}}^3\right)}^2$

einde van HUISWERKOPDRAG

KLASWERK

• Kom ons maak net gou seker dat ons veranderlikes met getalwaardes kan vervang.

1. Om die omtrek van ’n reghoek (sylengtes 17 cm en 13,5 cm) te bereken, gebruik ons die gewone formule:

• Omtrek = 2 [ lengte + breedte ]

• Maak eers hakies vir die veranderlikes: = 2 [ ( ) + ( ) ]
• Vul nou die waardes in: = 2 [ (17) + (13,5) ]
• Verwyder hakies en vereenvoudig = 2 [ 17 + 13,5 ]volgens gewone reëls: = 2 × 20,5
• Onthou die eenhede (indien daar is): = 41 cm

2. Wat is die waarde van $\frac{x^3{y}^4{x}^2{y}^5}{x^4{y}^8}$ as x = 3 en y = 2 ?

• Daar is twee moontlikhede, vervang eers en vereenvoudig daarna of vereenvoudig eers en vervang daarna. Hier is albei metodes:

$\frac{x^3{y}^4{x}^2{y}^5}{x^4{y}^8}$ = $\frac{{\left(3\right)}^3\times {\left(2\right)}^4\times {\left(3\right)}^2\times {\left(2\right)}^5}{{\left(3\right)}^4\times {\left(2\right)}^8}$ = $\frac{\text{27}\times \text{16}\times 9\times \text{32}}{\text{81}\times \text{128}}$ = 3 × 2 = 6

$\frac{x^3{y}^4{x}^2{y}^5}{x^4{y}^8}$ = $\frac{x^3{x}^2{y}^4{y}^5}{x^4{y}^8}$ = $\frac{x^5{y}^9}{x^4{y}^8}$ = $x^{5-4}{y}^{9-8}$ = x × y = (3) × (2) = 6

• Sonder foute sal die antwoorde eners wees.

3.1 Watter metode is volgens jou mening die maklikste en hoekom sê jy so?

3.2 Bereken die omtrek van ’n vierkant met sylengte 6,5 cm.

3.3 Bereken die oppervlakte van ’n reghoek met sylengtes 17 cm en 13,5 cm.

3.4 As a = 5 en b = 1 en c = 2 en d = 3, bereken die waarde van: ${\left(2a^2{b}^5{c}^{3}d\right)}^{2}2a{\left({\text{bc}}^{2}d\right)}^{3}4\text{ab}{\left({\text{cd}}^3\right)}^2$ .

einde van KLASWERK

Assessering

Memorandum

Eksponente

TOETS

1. Wetenskaplike Notasie

1.1 Skryf die volgende waardes as gewone getalle:

1.1.1 2,405 × 10 ¹⁷

1.1.2 6,55 × 10 ^–9

1.2 Skryf die volgende getalle in wetenskaplike notasie:

1.2.1 5 330 110 000 000 000 000

1.2.2 0,000 000 000 000 000 013 104

1.3 Doen die volgende berekeninge en skryf jou antwoord in wetenskaplike notasie:

1.3.1 (6,148 × 10 ¹¹ ) × (9 230 220 000 000 000)

1.3.2 (1,767 × 10 ^–6 )  (6,553 × 10 ^–4 )

2. Eksponente

Vereenvoudig en laat antwoorde sonder negatiewe eksponente.

(Moenie ‘n sakrekenaar gebruik nie.)

2.1 ${\mathrm{3a}}^2\text{xy}{\left(3{\text{ab}}^2{x}^{2}y\right)}^3$ 2.2 $\frac{{\left(a^0{b}^{0}c\right)}^3}{{\mathrm{6c}}^2{\left({\text{ab}}^3{c}^5\right)}^2}\times \frac{2{\left({\mathrm{3a}}^2{c}^3\right)}^0}{4{\text{abc}}^2}\times \text{18}{b}^4{\left({\mathrm{2a}}^3{c}^4\right)}^2$

3. Substitusie

3.1 Vereenvoudig: 2 x ² y ³ + ( xy ) ² – 4 x

3.2 Bereken die waarde van 2 x ² y ³ + ( xy ) ² – 4 x as x = 4 en y = –2

4. Formules

Die formule vir die oppervlakte van ‘n sirkel is: opp. = π r ² (r is die radius).

4.1 Bereken die oppervlaktes van die volgende sirkels:

4.1.1 ‘n Sirkel met radius = 12 cm; benader antwoord tot 1 desimale plek.

4.1.2 ‘n Sirkel met ‘n deursnit van 8 m; benader tot die naaste meter.

TOETS – Memorandum

1.1.1 240 500 000 000 000 000

1.1.2 0,000 000 006 55

1.2.1 5,330 110 × 10 ¹⁸

1.2.2 1,3104 × 10 ^–17

1.3.1 6,148 × 10 ¹¹ × 9,23022 × 10 ¹⁵

= 6,148 × 9,23022 × 10 ¹¹ × 10 ¹⁵

≈ 56,74 × 10 ²⁶

= 5,674 × 10 ²⁷

1.3.2 $\frac{\mathrm{1,}\text{767}\times {\text{10}}^{-6}}{\mathrm{6,}\text{553}\times {\text{10}}^{-4}}$ = $\frac{\mathrm{1,}\text{767}}{\mathrm{6,}\text{553}}\times {\text{10}}^{-6-(-4)}$ ≈ 0,26 × 10 ^–2 = 2,6 × 10 ^–1

2.1 3 ⁴ a ⁵ x ⁷ y ⁴ = 81 a ⁵ x ⁷ y ⁴

2.2 $\frac{c^3\times 2\times \text{18}{a}^6{b}^4{c}^8}{{\mathrm{6a}}^2{b}^6{c}^{\text{12}}\times 4{\text{abc}}^2}$ = $\frac{\text{36}{a}^6{b}^4{c}^{\text{11}}}{\text{24}{a}^3{b}^7{c}^{\text{14}}}$ = $\frac{{\mathrm{3a}}^3}{{\mathrm{2b}}^3{c}^3}$

3.1 2x ² y ³ + x ² y ² – 4x

3.2 2(4) ² (–2) ³ + (4) ² (–2) ² – 4(4) = 2(16)(–8) + (16)(4) – 16 = –256 + 64 – 16 = – 208

4.1.1 opp = π × 12 ² = 452,38934… ≈ 452,4 cm ²

4.1.2 opp = π × 4 ² = 50,26548… ≈ 50 m ²

Memoranda

KLASWERK

Die leerders behoort reeds die werk in die eerste deel te ken. Diegene wat nog nie die eenvoudige eksponentwette ken nie, kan dit nou bemeester. Vir die ander dien dit as hersiening met die oog op die nuwe werk in die tweede deel.

1.1 4 × 4 × 4 ( p +2) × ( p +2) × ( p +2) × ( p +2) × ( p +2) ens.

1.2 7 ⁴ y ⁵ ens.

1.3 (–7) ⁶ = 7 ⁶ , dus (–7) ⁶ ≠ –7 ⁶ ens.

2.1 7 ¹⁴ (–2) ¹⁷ = –2 ¹⁷ ens.

3.1 a ^6– y 3 ² ( a + b ) p ^–12 a ⁰

4.1 a ⁵ a ens.

TUTORIAAL

Die tutoriaal word in die klas in stilte in ‘n beperkte tyd gedoen. Aanbeveling: Sien dit onmiddelik na – dalk kan leerders mekaar se werk nasien.

Antwoorde: 1. a ³ 2. xy 3. a ⁶ b ⁸ c ⁸ 4. a ⁸ b ⁶ 5. 4 x ⁸ y ⁹ 6. 1

KLASWERK

Nuwe werk vir die meeste leerders in graad 9.

HUISWERKOPDRAG

Antwoorde: 1. 18 x ⁶ y ⁷

2. 24 x ¹¹ y ³

3. 0

4. 32 a ⁶ b ¹⁴ c ¹⁴ d ¹¹

5. $\frac{\text{16}{x}^{\text{10}}}{y^{\text{12}}}$

6. 1 7. $\frac{\text{108}{y}^5}{x}$

KLASWERK

Substitusie veroorsaak heelwat probleme omdat dit so maklik lyk. Leerders wat stappe uitlaat (of nie neerskryf nie) maak dikwels eenvoudige foute. Verplig leerders om hakies te gebruik.

2. Hulle behoort te besluit dat vereenvoudiging eers behoort te geskied – dit is immers waarom ons hulle leer om te vereenvoudig.

3.1 26 cm

3.2 229,5 cm ²

3.3 ≈ 1,45 × 10 ¹⁵