3.2 Propiedades de la convolución

En este modulo veremos varias de las propiedades de convolución que mas prevalecen. Nótese que estas propiedades se aplican a ambas convoluciones de tiempo continuo y de tiempo discreto . (Véase los dos módulos anteriores si necesita un repaso de convolución). También para algunas demostraciones de las propiedades, usaremos las integrales de tiempo-continuo, pero podemos probarlas de la misma manera usando las sumatorias de tiempo-discreto.

Asociatividad

Ley asociativa

Conmutatividad

: ley conmutativa

Para probar la , lo único que tenemos que hacer es un pequeño cambio de variable en nuestra integral de convolución (o suma),

Distribución

Ley distributiva

La demostración de este teorema puede ser tomada directamente de la definición de convolución y usando la linealidad de la integral.

Desplazamiento en el tiempo

Propiedad de desplazamiento

Para $c(t)=(f(t), h(t))$ , entonces

Convolución con un impulso

Convolución con impulso unitario

Para este demostración, dejaremos que $\delta (t)$ sea el impulso unitario localizado en el origen. Usando la definición de convolución empezamos con la integral de convolución

Ancho

En tiempo continuo, si la $\mathrm{Duración}(f_1)=T_1$ y la Duración $(f_2)=T_2$ , entonces

En tiempo discreto si la Duración $(f_1)=N_1$ y la Duración $(f_2)=N_2$ , entonces

Causalidad

Si $f$ y $h$ son ambas causales, entonces $(f, h)$ también es causal.