<< Chapter < Page Chapter >> Page >
A + B + C = 0 A + 3B 2C = 13 6A = 6 alignl { stack { size 12{A+B+C=0} {} #size 12{A+3B - 2C="13"} {} # size 12{ - 6A= - 6} {}} } {}

со чие решавање се определуваат вредностите на коефициентите: A = 1, B = 2, C = 3 . size 12{A=1,`B=2,`C= - 3 "." } {}

Втор начин :

Се поаѓа од равенството

13 x 6 = A ( x 2 ) ( x + 3 ) + Bx ( x + 3 ) + Cx ( x 2 ) size 12{"13"x - 6=A \( x - 2 \) \( x+3 \) + ital "Bx" \( x+3 \) + ital "Cx" \( x - 2 \) } {}

кое е задоволено за секоја вредност на x , size 12{x,} {} па специјално тоа е задоволено и за нулите на полиномот од именителот: x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 3 . size 12{x rSub { size 8{1} } =0,`x rSub { size 8{2} } =2,`x rSub { size 8{3} } = - 3 "." } {}

Заменувајќи за x = 0, size 12{x=0,} {} се добива 6 = 6A A = 1, size 12{ - 6= - 6A drarrow A=1,} {}

за x = 2, size 12{x=2,} {} се добива 26 6 = 2B ( 2 + 3 ) B = 2, size 12{"26" - 6=2B \( 2+3 \) drarrow B=2,} {}

а за x = 3, size 12{x= - 3,} {} се добива 39 6 = 3C ( 3 2 ) C = 3 . size 12{ - "39" - 6= - 3C \( - 3 - 2 \) drarrow C= - 3 "." } {}

По определување на непознатите коефициенти, подинтегралната функција се запишува преку сума од елементарни дробнорационални собироци

13 x 6 x 3 + x 2 6x = 1 x + 2 x 2 + 3 x + 3 size 12{ { {"13"x - 6} over {x rSup { size 8{3} } +x rSup { size 8{2} } - 6x} } = { {1} over {x} } + { {2} over {x - 2} } + { { - 3} over {x+3} } } {} ,

а после интегрирање на двете страни од ова равенство се добива решениоето на интегралот

13 x 6 x 3 + x 2 6x dx = 1 x dx + 2 x 2 dx + 3 x + 3 dx = ln x + 2 ln x 2 3 ln x + 3 + C , size 12{ Int { { {"13"x - 6} over {x rSup { size 8{3} } +x rSup { size 8{2} } - 6x} } } ital "dx"= Int { { {1} over {x} } } ital "dx"+ Int { { {2} over {x - 2} } } ital "dx"+ Int { { { - 3} over {x+3} } } ital "dx"="ln" \lline x \lline +2"ln" \lline x - 2 \lline - 3"ln" \lline x+3 \lline +C,} {}

и со средување на логаритамските функции решението е

13 x 6 x 3 + x 2 6x dx = ln x ( x 2 ) 2 x + 3 3 + C . size 12{ Int { { {"13"x - 6} over {x rSup { size 8{3} } +x rSup { size 8{2} } - 6x} } } ital "dx"="ln" { { \lline x \lline \( x - 2 \) rSup { size 8{2} } } over { \lline x+3 \lline rSup { size 8{3} } } } +C "." } {}

Тип ii. именител со еднакви линеарни фактори

Ако при факторизација на именителот кој е од полином од n size 12{n - {}} {} ти ред се добие линеарен фактор но на степен k , size 12{k,} {} ( 2 k n ) size 12{ \( 2<= k<= n \) } {} , на секој фактор од облик ( x a ) k size 12{ \( x - a \) rSup { size 8{k} } } {} во разложувањето на функцијата му соодветствуваат k size 12{k} {} елементарни дробнорационални функции од обликот

A k ( x a ) k , A k 1 ( x a ) k 1 , , A 1 x a , size 12{ { {A rSub { size 8{k} } } over { \( x - a \) rSup { size 8{k} } } } , { {A rSub { size 8{k - 1} } } over { \( x - a \) rSup { size 8{k - 1} } } } , dotsaxis , { {A rSub { size 8{1} } } over {x - a} } ,} {}

чии коефициенти A k size 12{A rSub { size 8{k} } } {} треба да се определат. Интегралите од овие собироци се

дробнорационални функции бидејќи

A ( x a ) k dx = A ( k 1 ) ( x a ) k 1 , size 12{ Int { { {A} over { \( x - a \) rSup { size 8{k} } } } } ital "dx"= - { {A} over { \( k - 1 \) \( x - a \) rSup { size 8{k - 1} } } } ,} {}

затоа решението на вториот тип дробнорационални функции е сума од логаритамски и вакви добнорацинални функции.

Пример 3.

Да се пресмета

3x + 5 x 3 x 2 x + 1 dx . size 12{ Int { { {3x+5} over {x rSup { size 8{3} } - x rSup { size 8{2} } - x+1} } ital "dx"} "." } {}

Согласно на постапката за интегрирање дробнорационални функции, именителот се факторизира:

x 3 x 2 x + 1 = ( x + 1 ) ( x 1 ) 2 size 12{x rSup { size 8{3} } - x rSup { size 8{2} } - x+1= \( x+1 \) \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } {} .

Бидејќи линераниот фактор x 1 size 12{x - 1} {} е со степен 2, разложувањето на подинтегралната функција е

3x + 5 x 3 x 2 x + 1 = 3x + 5 ( x + 1 ) ( x 1 ) 2 = A x + 1 + B ( x 1 ) 2 + C x 1 size 12{ { {3x+5} over {x rSup { size 8{3} } - x rSup { size 8{2} } - x+1} } = { {3x+5} over { \( x+1 \) \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } = { {A} over {x+1} } + { {B} over { \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } + { {C} over {x - 1} } } {} .

По множење со именителот

3x + 5 = A ( x 1 ) 2 + B ( x + 1 ) + C ( x 1 ) ( x + 1 ) size 12{3x+5=A \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } +B \( x+1 \) +C \( x - 1 \) \( x+1 \) } {}

и после средување на полиномот од десната старна на равенството

3x + 5 = ( A + C ) x 2 + ( B 2A ) x + A + B C , size 12{3x+5= \( A+C \) x rSup { size 8{2} } + \( B - 2A \) x+A+B - C,} {}

коефициентите се определуваат преку ситемот равенки

A + C = 0 B 2A = 3 A + B C = 5 alignl { stack { size 12{A+C=0} {} #size 12{B - 2A=3} {} # size 12{A+B - C=5} {}} } {}

со решенија A = 1 2 , B = 4, C = 1 2 . size 12{A= { {1} over {2} } ,`B=4,`C= - { {1} over {2} } "." } {}

Од разложувањето на подинтегралната функција

3x + 5 ( x + 1 ) ( x 1 ) 2 = 1 / 2 x + 1 + 4 ( x 1 ) 2 1 / 2 x 1 size 12{ { {3x+5} over { \( x+1 \) \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } = { {1/2} over {x+1} } + { {4} over { \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } - { {1/2} over {x - 1} } } {}

и нејзиното интегрирање

3x + 5 ( x + 1 ) ( x 1 ) 2 dx = 1 2 1 x + 1 dx + 4 1 ( x 1 ) 2 dx 1 2 1 x 1 dx = 1 2 ln x + 1 4 x 1 1 2 ln x 1 + C alignl { stack { size 12{ Int { { {3x+5} over { \( x+1 \) \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"= { {1} over {2} } Int { { {1} over {x+1} } ital "dx"} +4 Int { { {1} over { \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} - { {1} over {2} } Int { { {1} over {x - 1} } } ital "dx"={}} {} #= { {1} over {2} } "ln" \lline x+1 \lline - { {4} over {x - 1} } - { {1} over {2} } "ln" \lline x - 1 \lline +C {} } } {}

се добива решението

3x + 5 ( x + 1 ) ( x 1 ) 2 dx = 1 2 ln x + 1 x 1 4 x 1 + C . size 12{ Int { { {3x+5} over { \( x+1 \) \( x - 1 \) rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"= { {1} over {2} } "ln" { { \lline x+1 \lline } over { \lline x - 1 \lline } } - { {4} over {x - 1} } +C "." } {}

Тип iii. именител со различни квадратни фактори

Третиот тип дробнорационални функции е случајот кога во факторизација на именителот се јавуваат и различни квадратни изрази од обликот ax 2 + bx + c size 12{ ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} {} кои неможат да се редуцираат на линерни. На секој ваков квадратен фактор при разложување на подинтегралната функција му соодветствува елементарна дробнорационална функција од обликот

Ax + B ax 2 + bx + c , size 12{ { { ital "Ax"+B} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ,} {}

во која константите A , B size 12{A,B} {} треба да се определат. Интегралот од оваа функција е

Ax + B ax 2 + bx + c dx = A x ax 2 + bx + c dx + B 1 ax 2 + bx + c dx = size 12{ Int { { { ital "Ax"+B} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } } ital "dx"=A Int { { {x} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"+B Int { { {1} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"={}} } } {}
= A 2a 2 ax ax 2 + bx + c dx + B 1 ax 2 + bx + c dx = A 2a 2 ax + b b ax 2 + bx + c dx + B 1 ax 2 + bx + c dx = size 12{ {}= { {A} over {2a} } Int { { {2 ital "ax"} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"+B Int { { {1} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"={}} } { {A} over {2a} } Int { { {2 ital "ax"+b - b} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"+B Int { { {1} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"={}} } } {}
= A 2a 2 ax + b ax 2 + bx + c dx + ( B Ab 2a ) 1 ax 2 + bx + c dx = A 2a I 1 + ( B Ab 2a ) I 2 . size 12{ {}= { {A} over {2a} } Int { { {2 ital "ax"+b} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"+ \( B - { { ital "Ab"} over {2a} } \) Int { { {1} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"={}} } { {A} over {2a} } I rSub { size 8{1} } + \( B - { { ital "Ab"} over {2a} } \) I rSub { size 8{2} } "." } {}

Како што се гледа, интегралот се сведува на два веќе познати за решавање интеграли I 1 и I 2 . Првиот интеграл е

I 1 = 2 ax + b ax 2 + bx + c dx = ln ax 2 + bx + c + C size 12{I rSub { size 8{1} } = Int { { {2 ital "ax"+b} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"="ln" \lline ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c \lline } +C} {} ,

а вториот интеграл е

1 ax 2 + bx + c dx = 1 a x 2 + b a x + c a dx = 1 a 1 x + b 2a 2 b 2 4a 2 + c a dx size 12{ Int { { {1} over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ital "dx"={}} Int { { {1} over {a left (x rSup { size 8{2} } + { {b} over {a} } x+ { {c} over {a} } right )} } ital "dx"} = { {1} over {a} } Int { { {1} over { left (x+ { {b} over {2a} } right ) rSup { size 8{2} } - { {b rSup { size 8{2} } } over {4a rSup { size 8{2} } } } + { {c} over {a} } } } } ital "dx"} {} ,

кој во зависност од вредноста на коефициентите е некој од табличните интеграли.

Пример 4.

Да се пресмета

x 2 1 x 4 dx . size 12{ Int { { {x rSup { size 8{2} } } over {1 - x rSup { size 8{4} } } } ital "dx"} "." } {}

Најпрво се факторизира именителот:

1 x 4 = ( 1 x 2 ) ( 1 + x 2 ) = ( 1 x ) ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) . size 12{1 - x rSup { size 8{4} } = \( 1 - x rSup { size 8{2} } \) \( 1+x rSup { size 8{2} } \) = \( 1 - x \) \( 1+x \) \( 1+x rSup { size 8{2} } \) "." } {}

Именителот соджи два различни линеарни фактори и еден квадратен, па затоа припаѓа на третиот тип дробнорационални функции и се разложува на

x 2 1 x 4 = A 1 x + B 1 + x + Cx + D 1 + x 2 size 12{ { {x rSup { size 8{2} } } over {1 - x rSup { size 8{4} } } } = { {A} over {1 - x} } + { {B} over {1+x} } + { { ital "Cx"+D} over {1+x rSup { size 8{2} } } } } {} ,

и се добива равенството

x 2 = A ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) + B ( 1 x ) ( 1 + x 2 ) + ( Cx + D ) ( 1 x 2 ) size 12{x rSup { size 8{2} } =A \( 1+x \) \( 1+x rSup { size 8{2} } \) +B \( 1 - x \) \( 1+x rSup { size 8{2} } \) + \( ital "Cx"+D \) \( 1 - x rSup { size 8{2} } \) } {}

преку кое се поределуваат коефициентите A , B , C , D size 12{A,B,C,D} {} . Нека за таа цел го примениме вториот метод со задавње на вредности за x size 12{x} {} .

Ако замениме за x = 1 1 = A 2 2 A = 1 4 , size 12{x=1 drarrow 1=A cdot 2 cdot 2 drarrow A= { {1} over {4} } ,} {}

за x = 1 1 = B 2 2 B = 1 4 , size 12{x= - 1 drarrow 1=B cdot 2 cdot 2 drarrow B= { {1} over {4} } ,} {}

за x = 0 0 = A + B + D size 12{x=0 drarrow 0=A+B+D} {} и за x = 2 4 = A 3 5 + B ( 1 ) 5 + ( 2C + D ) ( 3 ) size 12{x=2 drarrow 4=A cdot 3 cdot 5+B cdot \( - 1 \) cdot 5+ \( 2C+D \) \( - 3 \) } {} ,

од каде се добива ситемот равенки

A + B + D = 0 15 A 5B 6C 3D = 4 alignl { stack { size 12{A+B+D=0} {} #size 12{"15"A - 5B - 6C - 3D=4} {} } } {}

и од веке пресметаните A = B = 1 4 size 12{A=B= { {1} over {4} } } {} , од првата равенка коефициентот D = A B = 1 2 , size 12{D= - A - B= - { {1} over {2} } ,} {} додека од втората равенка 15 4 4 4 6C + 3 2 = 4 C = 0 . size 12{ { {"15"} over {4} } - { {4} over {4} } - 6C+ { {3} over {2} } =4 drarrow C=0 "." } {} {}

Со оваа постапка дробнорационалната функција ја разложивме на елементарни дробнорационални собироци

x 2 1 x 4 = 1 / 4 1 x + 1 / 4 1 + x + 1 / 2 1 + x 2 size 12{ { {x rSup { size 8{2} } } over {1 - x rSup { size 8{4} } } } = { {1/4} over {1 - x} } + { {1/4} over {1+x} } + { { - 1/2} over {1+x rSup { size 8{2} } } } } {} ,

а нејзиниот интеграл е

x 2 1 x 4 dx = 1 / 4 1 x dx + 1 / 4 1 + x dx + 1 / 2 1 + x 2 dx = 1 4 ln 1 x + 1 4 ln 1 + x 1 2 arctan x + C = 1 4 ln 1 + x 1 x 1 2 arctan x + C . alignl { stack { size 12{ Int { { {x rSup { size 8{2} } } over {1 - x rSup { size 8{4} } } } ital "dx"} = Int { { {1/4} over {1 - x} } } ital "dx"+ Int { { {1/4} over {1+x} } ital "dx"} + Int { { { - 1/2} over {1+x rSup { size 8{2} } } } } ital "dx"={}} {} #= - { {1} over {4} } "ln" \lline 1 - x \lline + { {1} over {4} } "ln" \lline 1+x \lline - { {1} over {2} } "arctan"x+C= { {1} over {4} } "ln" { { \lline 1+x \lline } over { \lline 1 - x \lline } } - { {1} over {2} } "arctan"x+C "." {} } } {}

Тип iv. именител со еднакви квадратни фактори

Нека именителот на подинтегралната дробнорационална функција е полином од n size 12{n - {}} {} ти ред кој содржи и квадратни фактори кои не се линеаризаираат и нека тие се од обликот ( ax 2 + bx + c ) k , 2 k < n . size 12{ \( ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c \) rSup { size 8{k} } ,2<= k<n "." } {} На секој ваков фактор од именителот во разложувањето на дробнорационалната функција му соодветствуваат k size 12{k} {} елементарни функции (дропки) од облик

A k x + B k ( ax 2 + bx + c ) k , A k 1 x + B k 1 ( ax 2 + bx + c ) k 1 , , A 2 x + B 2 ( ax 2 + bx + c ) 2 , A 1 x + B 1 ax 2 + bx + c , size 12{ { {A rSub { size 8{k} } x+B rSub { size 8{k} } } over { \( ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c \) rSup { size 8{k} } } } ,` { {A rSub { size 8{k - 1} } x+B rSub { size 8{k - 1} } } over { \( ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c \) rSup { size 8{k - 1} } } } , dotsaxis , { {A rSub { size 8{2} } x+B rSub { size 8{2} } } over { \( ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c \) rSup { size 8{2} } } } , { {A rSub { size 8{1} } x+B rSub { size 8{1} } } over { ital "ax" rSup { size 8{2} } + ital "bx"+c} } ,} {}

чии коефицинети A i , B i ( i = 1, , k ) size 12{A rSub { size 8{i} } ,B rSub { size 8{i} } \( i=1, dotsaxis ,k \) } {} треба да се определат.

Пример 5.

Да се пресмета

I = x 3 + x 1 ( x 2 + 1 ) 2 dx . size 12{I= Int { { {x rSup { size 8{3} } +x - 1} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} "." } {}

Именителот ( x 2 + 1 ) 2 size 12{ \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } {} не може да се разложи на линеарни фактори, туку тој е квадратен фактор x 2 + 1 size 12{x rSup { size 8{2} } +1} {} и тоа на степен 2. Затоа дробнорационалната функција се разложува

x 3 + x 1 ( x 2 + 1 ) 2 = Ax + B ( x 2 + 1 ) 2 + Cx + D x 2 + 1 size 12{ { {x rSup { size 8{3} } +x - 1} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } = { { ital "Ax"+B} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } + { { ital "Cx"+D} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } {}

од каде

x 3 + x 1 = Ax + B + ( Cx + D ) ( x 2 + 1 ) size 12{x rSup { size 8{3} } +x - 1= ital "Ax"+B+ \( ital "Cx"+D \) \( x rSup { size 8{2} } +1 \) } {}

и по средување на полиномот од десната страна на равенството

x 3 + x 1 = Cx 3 + Dx 2 + ( A + C ) x + B + D size 12{x rSup { size 8{3} } +x - 1= ital "Cx" rSup { size 8{3} } + ital "Dx" rSup { size 8{2} } + \( A+C \) x+B+D} {} {}

и примена на методот на неопределени коефициенти се добива ситемот равенки

C = 1 D = 0 A + C = 1 B + D = 1 alignl { stack { size 12{C=1} {} #size 12{D=0} {} #size 12{A+C=1} {} # size 12{B+D= - 1} {}} } {}

со решенија A = 0, B = 1, C = 1, D = 0 . size 12{A=0,`B= - 1,`C=1,`D=0 "." } {}

По опредеување на разложувањето

x 3 + x 1 ( x 2 + 1 ) 2 = 1 ( x 2 + 1 ) 2 + x x 2 + 1 size 12{ { {x rSup { size 8{3} } +x - 1} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } = { { - 1} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } + { {x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } {} ,

равенството се интегрира

I = x 3 + x 1 ( x 2 + 1 ) 2 dx = 1 ( x 2 + 1 ) 2 dx + x x 2 + 1 dx = 1 + x 2 x 2 ( x 2 + 1 ) 2 dx + 1 2 2x x 2 + 1 dx = 1 + x 2 ( x 2 + 1 ) 2 dx + x 2 ( x 2 + 1 ) 2 dx + 1 2 ln ( x 2 + 1 ) = 1 x 2 + 1 dx + x x ( x 2 + 1 ) 2 dx + 1 2 ln ( x 2 + 1 ) . alignl { stack { size 12{I= Int { { {x rSup { size 8{3} } +x - 1} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} = Int { { { - 1} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} + Int { { {x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } ital "dx"={}} {} #= - Int { { {1+x rSup { size 8{2} } - x rSup { size 8{2} } } over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} + { {1} over {2} } Int { { {2x} over {x rSup { size 8{2} } +1} } } ital "dx"={} {} # = - Int { { {1+x rSup { size 8{2} } } over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"+{}} Int { { {x rSup { size 8{2} } } over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} + { {1} over {2} } "ln" \( x rSup { size 8{2} } +1 \) ={} {} #= - Int { { {1} over {x rSup { size 8{2} } +1} } ital "dx"+{}} Int { { {x cdot x} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"} + { {1} over {2} } "ln" \( x rSup { size 8{2} } +1 \) "." {} } } {}

За вториот интеграл се применува парцијална интеграција:

u = x du = dx dv = x ( x 2 + 1 ) 2 dx v = x ( x 2 + 1 ) 2 dx = 1 2 2x ( x 2 + 1 ) 2 dx = 1 2 dt t 2 = 1 2 ( x 2 + 1 ) , alignl { stack { size 12{u=x drarrow ital "du"= ital "dx"} {} #size 12{ ital "dv"= { {x} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx" drarrow v= Int { { {x} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"={}} { {1} over {2} } Int { { {2x} over { \( x rSup { size 8{2} } +1 \) rSup { size 8{2} } } } ital "dx"={}} { {1} over {2} } Int { { { ital "dt"} over {t rSup { size 8{2} } } } } = - { {1} over {2 \( x rSup { size 8{2} } +1 \) } } ,} {} } } {}

и затоа

I = arctan x x 1 2 ( x 2 + 1 ) + 1 2 1 x 2 + 1 dx + 1 2 ln ( x 2 + 1 ) = size 12{I= - "arctan"x - x { {1} over {2 \( x rSup { size 8{2} } +1 \) } } + { {1} over {2} } Int { { {1} over {x rSup { size 8{2} } +1} } ital "dx"} + { {1} over {2} } "ln" \( x rSup { size 8{2} } +1 \) ={}} {}
= arctan x x 2 ( x 2 + 1 ) + 1 2 arctan x + 1 2 ln ( x 2 + 1 ) + C , size 12{ {}= - "arctan"x - { {x} over {2 \( x rSup { size 8{2} } +1 \) } } + { {1} over {2} } "arctan"x+ { {1} over {2} } "ln" \( x rSup { size 8{2} } +1 \) +C,} {}

и по средување, интегралот е

I = 1 2 arctan x x 2 ( x 2 + 1 ) + 1 2 ln ( x 2 + 1 ) + C . size 12{I= - { {1} over {2} } "arctan"x - { {x} over {2 \( x rSup { size 8{2} } +1 \) } } + { {1} over {2} } "ln" \( x rSup { size 8{2} } +1 \) +C "." } {}

Questions & Answers

What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
characteristics of micro business
Abigail
for teaching engĺish at school how nano technology help us
Anassong
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
there is no specific books for beginners but there is book called principle of nanotechnology
NANO
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
carbon nanotubes has various application in fuel cells membrane, current research on cancer drug,and in electronics MEMS and NEMS etc
NANO
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Неопределен интеграл. OpenStax CNX. Dec 02, 2010 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11240/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Неопределен интеграл' conversation and receive update notifications?

Ask