<< Chapter < Page Chapter >> Page >
Непрекинатите функции се многу важна класа функции. Се дефинира кога функција е непрекината, а кога таа е прекината.

Непрекинатост на функција

Дефиниција.

Функцијата y = f ( x ) size 12{y=f \( x \) } {} е непрекината во точката x = a size 12{x=a} {} ако се исполнети следните три услови:

1 0 f ( x ) size 12{f \( x \) } {} е дефинирана во точката x = a size 12{x=a} {} ,

2 0 постои lim x a f ( x ) = A size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =A} {} ,

3 0 lim x a f ( x ) = f ( a ) = A size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow a} } f \( x \) =f \( a \) =A} {} .

Од дефиницијата за непрекинатост на функција следува дека функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} е непрекината во точката x = a size 12{x=a} {} ако е дефинирана во таа точка, ако постои гранична вредност во таа точка и ако таа граница е еднаква со вредноста на функцијата во истата точка. Обратното не мора да важи, бидејки функцијата може да има граница во точката x = a size 12{x=a} {} , а да не е дефинирана во истата точка.

Затоа функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} ќе биде прекината во точката x = a size 12{x=a} {} ако еден или повеќе услови од дефиницијата за непрекинатост не се исполнети.

Пример 1.

За која вредност на константата a size 12{a} {} функцијата f ( x ) = { x + 1, x 1 ; 3 ax 2 , x > 1, size 12{f \( x \) = left lbrace matrix { x+1,~x<= 1; {} ## 3 - ital "ax" rSup { size 8{2} } ,~x>1, } right none } {} ќе биде непрекината?

РЕШЕНИЕ:

Функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} е составена од полиномни функции за кои нема ограничување во дефиниционата област и како такви се непрекинати во интервалите на кои се зададени, a единствено треба да се провери граничната точка која ги дели интервалите на нивното дефинирање. Првата функција е дефинирана и непрекината на интервалот x 1 size 12{x<= 1} {} , а втората на x > 1 size 12{x>1} {} и затоа единствено треба да се провери граничната точка меѓу овие интервали x = 1 size 12{x=1} {} .

Се пресметува вредноста на функцијата во оваа точка

f ( 1 ) = ( x + 1 ) / x = 1 1 + 1 = 2 size 12{f \( 1 \) = \( x+1 \) / rSub { size 8{x=1} } =1+1=2} {} ,

а за пресметување на границата во оваа точка користиме еднострани граници, бидејќи за помали и поголеми вредности од x = 1 size 12{x=1} {} функциите се различно дефинирани.

Се пресметува левата граница

lim x 1 f ( x ) = lim x 1 ( x + 1 ) = 2 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } size 12{ \( x+1 \) =2}} {} ;

додека десната граница е

lim x 1 + f ( x ) = lim x 1 + ( 3 ax 2 ) = 3 a size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) = {"lim"} cSub {x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } size 12{ \( 3 - ital "ax" rSup {2} } size 12{ \) =3 - a}} {} .

Од дефиницијата за непрекинатост, за да функцијата биде непрекината во точка потребно е во таа точка да има граница која е еднаква со вредноста на функцијата во точката. Во овој пример вредноста на функцијата е еднаква со левата граница, а останува уште таа вредност да е еднаква и на десната граница.

Овој услов го дава равенството

3 a = 2 a = 1 size 12{3 - a=2 drarrow a=1} {} ,

што значи дека вредноста на константата треба да биде

a = 1 size 12{a=1} {} за да функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} биде непрекината.

Неколку видови на непрекинатост на функција ќе се прикажат низ примери.

Пример 2.

Функцијата f ( x ) = 1 x size 12{f \( x \) = { {1} over {x} } } {} е прекината во точката x = 0 size 12{x=0} {} бидејќи f ( 0 ) size 12{f \( 0 \) } {} не постои ( 0 D f ) size 12{ \( 0 notin D rSub { size 8{f} } \) } {} и едностраните граници се бесконечни:

lim x 0 + 1 x = 1 0 + =+ size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0 rSup { size 6{+{}} } } } { {1} over {x} } = { {1} over {0+{}} } "=+" infinity } {} ,

lim x 0 1 x = 1 0 = size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 0 rSup { size 6{ - {}} } } } { {1} over {x} } = { {1} over {0 - {}} } = - infinity } {} .

Оваа функција (Сл.1) е непрекината во сите точки освен во x = 0 size 12{x=0} {} и се вели дека во неа има бесконечен прекин . Графикот на функцијата има ,, скок “ во таа таа точка, односно вредностите на функцијата добиени лево од точката на прекин скокаат до вредностите десно од точката на прекин.

Слика 1 График на функцијата f ( x ) = 1 x size 12{f \( x \) = { {1} over {x} } } {}

Пример 3.

Функцијата f ( x ) = x 2 9 x 3 size 12{f \( x \) = { {x rSup { size 8{2} } - 9} over {x - 3} } } {} е прекината во точката x = 3 size 12{x=3} {} , бидејќи f ( 3 ) size 12{f \( 3 \) } {} не е постои, додека lim x 3 x 2 9 x 3 = 6 size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 3} } { {x rSup { size 8{2} } - 9} over {x - 3} } =6} {} .

Овој вид прекин може да отстрани преку редефинирање на функцијата со

h ( x ) = { x 2 9 x 3 , x 3 6, x = 3 . size 12{h \( x \) = left lbrace matrix { { {x rSup { size 8{2} } - 9} over {x - 3} } ,~x<>3 {} ## ~6,~~~x=3 "." ~} right none } {}

Функциите f ( x ) = x 2 9 x 3 size 12{f \( x \) = { {x rSup { size 8{2} } - 9} over {x - 3} } } {} и g ( x ) = x + 3 size 12{g \( x \) =x+3} {} се идентични освен во точката x = 3 size 12{x=3} {} во која за функцијата f ( x ) = x 2 9 x 3 size 12{f \( x \) = { {x rSup { size 8{2} } - 9} over {x - 3} } } {} се формира “дупка” (јама) (Сл. 2).

Слика 2. График на функцијта f ( x ) = x 2 9 x 3 size 12{f \( x \) = { {x rSup { size 8{2} } - 9} over {x - 3} } } {}

Забелешка

Прекинот во точката x = 0 size 12{x=0} {} од Пример 2 не може да се отстрани од причина што во таа точка не постои граница, левата и десната граница се различни.

Пример 4.

Функцијата f ( x ) = { x + 1, x 1 x , x < 1 size 12{f \( x \) = left lbrace matrix { x+1,~x>= 1 {} ## x,~~x<1 } right none } {} е дефинирана во точката x = 1 size 12{x=1} {} , f ( 1 ) = 2 size 12{f \( 1 \) =2} {} , но има различни еднострани граници во неа:

lim x 1 + f ( x ) = 2, lim x 1 f ( x ) = 1, alignl { stack { size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{+{}} } } } f \( x \) =2,} {} #size 12{ {"lim"} cSub { size 8{x rightarrow 1 rSup { size 6{ - {}} } } } f \( x \) =1,} {} } } {}

и затоа функцијата е прекината во точката x = 1 size 12{x=1} {} .

Особини на непрекинатите функции

Непрекинатите функции се многу важна класа функции. За нив важат следните особини:

  • Ако функциите f ( x ) size 12{f \( x \) } {} и g ( x ) size 12{g \( x \) } {} се непрекинати во точката x = a size 12{x=a} {} , тогаш и функциите f ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) g ( x ) , f ( x ) g ( x ) ( g ( a ) 0 ) size 12{f \( x \) +- g \( x \) ,`f \( x \) cdot g \( x \) ,` { {f \( x \) } over {g \( x \) } } ~ \( g \( a \)<>0 \) } {} се исто така непрекинати функции истата точка.
  • Ако функцијата е непрекината во сите точки од еден интервал, тогаш таа е непрекината на целиот интервал.
  • За да непрекината функција премине од една своја вредност во друга, таа мора да ги прими сите вредности меѓу овие две вредности.
  • Ако непрекината функција во околина на дадена точка има вредност различна од нула, тогаш околу таа точка ќе постои интервал во кој функцијта има ист знак со вредноста на функцијата.
  • Ако на краевите од еден интервал функцијата има вредности различни по знак, тогаш ќе постои барем една точка од внатрешноста на интервалот во која функцијата ќе има вредност нула.

Непрекинатоста кај елементарните функции е следна: полиномот е непрекината функција за секоја реална вредност на аргументот, дробнорационалните функции се непрекинати во сите точки освен во нулите на именителот во кои точки функцијата не е дефинирана. Експоненцијалната функција е непрекината за секоја вредност на аргументот. Логаритамската функција е непрекината за сите позитивни вредности на аргументот. Тригонометриските функции y = sin x , y = cos x size 12{y="sin"x,~y="cos"x} {} се непрекинати за секоја реална вредност на аргументот, функцијата y = tg x size 12{y="tg"`x} {} е непрекината за сите x ( 2k + 1 ) π 2 size 12{x<>\( 2k+1 \) { {π} over {2} } } {} , додека y = ctg x size 12{y="ctg"`x} {} е непрекината за x , ( k = 0, ± 1, ± 2, ) size 12{x<>kπ,~ \( k=0,` +- 1,` +- 2,` dotslow \) } {} . Инверзните тригонометриски функции y = arcsin x , y = arccos x size 12{y="arcsin"x,~y="arccos"x} {} се непрекинати на интервалот [-1, 1], додека y = arctg x , y = arcctg x size 12{y="arctg"`x,~y="arcctg"`x} {} се непрекинати за секоја реална вредност на аргументот.

Questions & Answers

what is variations in raman spectra for nanomaterials
Jyoti Reply
I only see partial conversation and what's the question here!
Crow Reply
what about nanotechnology for water purification
RAW Reply
please someone correct me if I'm wrong but I think one can use nanoparticles, specially silver nanoparticles for water treatment.
Damian
yes that's correct
Professor
I think
Professor
what is the stm
Brian Reply
is there industrial application of fullrenes. What is the method to prepare fullrene on large scale.?
Rafiq
industrial application...? mmm I think on the medical side as drug carrier, but you should go deeper on your research, I may be wrong
Damian
How we are making nano material?
LITNING Reply
what is a peer
LITNING Reply
What is meant by 'nano scale'?
LITNING Reply
What is STMs full form?
LITNING
scanning tunneling microscope
Sahil
how nano science is used for hydrophobicity
Santosh
Do u think that Graphene and Fullrene fiber can be used to make Air Plane body structure the lightest and strongest. Rafiq
Rafiq
what is differents between GO and RGO?
Mahi
what is simplest way to understand the applications of nano robots used to detect the cancer affected cell of human body.? How this robot is carried to required site of body cell.? what will be the carrier material and how can be detected that correct delivery of drug is done Rafiq
Rafiq
what is Nano technology ?
Bob Reply
write examples of Nano molecule?
Bob
The nanotechnology is as new science, to scale nanometric
brayan
nanotechnology is the study, desing, synthesis, manipulation and application of materials and functional systems through control of matter at nanoscale
Damian
Is there any normative that regulates the use of silver nanoparticles?
Damian Reply
what king of growth are you checking .?
Renato
What fields keep nano created devices from performing or assimulating ? Magnetic fields ? Are do they assimilate ?
Stoney Reply
why we need to study biomolecules, molecular biology in nanotechnology?
Adin Reply
?
Kyle
yes I'm doing my masters in nanotechnology, we are being studying all these domains as well..
Adin
why?
Adin
what school?
Kyle
biomolecules are e building blocks of every organics and inorganic materials.
Joe
anyone know any internet site where one can find nanotechnology papers?
Damian Reply
research.net
kanaga
sciencedirect big data base
Ernesto
Introduction about quantum dots in nanotechnology
Praveena Reply
what does nano mean?
Anassong Reply
nano basically means 10^(-9). nanometer is a unit to measure length.
Bharti
do you think it's worthwhile in the long term to study the effects and possibilities of nanotechnology on viral treatment?
Damian Reply
absolutely yes
Daniel
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Функции од една реaлнa промeнлива. OpenStax CNX. Oct 16, 2013 Download for free at http://cnx.org/content/col10490/1.7
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Функции од една реaлнa промeнлива' conversation and receive update notifications?

Ask