3.11 Примена на изводите во испитување и скицирање график на

Функцијата нема превојни точки, , а како утврдивме дека знакот на $y^{\text{'}\text{'}}$ е ист со знакот на $x$ , за функцијата е конкавна, а за $x>0$ функцијата е конвексна.

8. Графикот на функцијата е прикажан на Сл 1.

Пример 2.

Да се испита и графички претстави функцијата $y=\frac{x}{x^2+1}$ .

Решение.

1. $D_f=(-\infty ,+\infty )$ бидејќи именителот .

2. Нула на функцијата е координатниот почеток $O(\mathrm{0,0})$ .

3. Функцијата е непарна, $y(-x)=\frac{-x}{(-x{)}^2+1}=-\frac{x}{x^2+1}=-y(x)$ .

4. Функцијата не е приодична.

5. Асимптоти:

Нема верикална асимптота, функцијата е дефинирана за сите реални вредности.

$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{x}{x^2+1}=0\Rightarrow$ правата $y=0$ е хоризонтална асимптота.

Функцијата нема коса асимптота бидејќи има хоризонтална асимптота.

6. Прв извод, стационарни точки и интервали на монотоност:

$y^{\text{'}}=\frac{1+x^2-x\cdot \mathrm{2x}}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$ .

$y^{\text{'}}=0\Rightarrow \frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}=0\Rightarrow 1-x^2=0\Rightarrow x=\pm 1$ .

$y(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ ,

$y(-1)=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}$ .

Стационарни точки се $\left(-\mathrm{1,}-\frac{1}{2}\right)$ и $\left(\mathrm{1,}\frac{1}{2}\right)$ .

Бидејќи именителот на изводот е квадратна функција, тој е секогаш позитивен и знакот на изводот ќе зависи само од знакот на броителот. Во броителот квадратната функција $1-x^2$ е позитивна меѓу нулите (стационарните точки) а негативна на интервалите надвот од нив. Затоа интервалите на монотоност се:

на $\left(-\infty ,-1\right)$ функцијата опаѓа,

на $\left(-\mathrm{1,1}\right)$ $y^{\text{'}}>0\Rightarrow$ функцијата расте,

на $\left(\mathrm{1,}+\infty \right)$ функцијата опаѓа.

Веќе од интерваите на монотоност согледуваме дека во стационарната точка $x=-1$ функцијата ќе има минимум, а во стационарната точка $x=1$ ќе има максимум, што ќе го утврдиме и со вториот извод.

7. Втор извод, екстреми и превојни точки.

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{-\mathrm{2x}(x^2+1{)}^2-(1-x^2)2(x^2+1)\mathrm{2x}}{(x^2+1{)}^4}=\frac{(x^2+1)[-\mathrm{2x}(x^2+1)-\mathrm{4x}(1-x^2)]}{(x^2+1{)}^4}$

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{\mathrm{2x}(x^2-3)}{(x^2+1{)}^3}$ .

е точка на максимум.

$y^{\text{'}\text{'}}(-1)=\frac{-2(1-3)}{(1+1{)}^3}=\frac{+}{+}>0\Rightarrow x=-1$ е точка на минимум.

Вредност на функцијата во екстремните точки:

$\begin{array}{}y(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\\ y(-1)=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}\end{array}$

и екстремеите се:

max $\left(\mathrm{1,}\frac{1}{2}\right)$ , min $\left(-\mathrm{1,}-\frac{1}{2}\right)$ .

Превои:

$y^{\text{'}\text{'}}=0\Rightarrow \frac{\mathrm{2x}(x^2-3)}{(x^2+1{)}^3}=0\Rightarrow \mathrm{2x}(x^2-3)=0\Rightarrow x=\mathrm{0,}x=\pm \sqrt{3}$ се превојни точки.

$\begin{array}{}y(0)=\mathrm{0,}\\ y(-\sqrt{3})=-\frac{\sqrt{3}}{4},\\ y(\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{4}\text{.}\end{array}$

Превојните точки се со координати;

$(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{4});(\mathrm{0,0});(\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{4})\text{.}$

Интервали на конвексност/конкавност

конкавна $(\cap )$ ,

$x\in (-\sqrt{3},0)\Rightarrow y^{\text{'}\text{'}}>0\Rightarrow$ конвексна $(\cup )$ ,

конкавна $(\cap )$ ,

$x\in (\sqrt{3},+\infty )\Rightarrow y^{\text{'}\text{'}}>0\Rightarrow$ конвексна $(\cup )$ .

8. Врз основа на претходните испитувања, графикот на функцијата е прикажан на Сл. 2.

Пример 3.

Да се испита и графички претстави функцијата $y=\frac{x^2}{x^2-1}$ .

Решение.

1. $D_f=(-\infty ,-1)\cup (-\mathrm{1,1})\cup (\mathrm{1,}+\infty )$ .

Функцијата не е дефинирана во точките $x=\pm 1$ бидејќи именителот $x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$ .

2. Нула на функцијата е координатниот почеток $O(\mathrm{0,0})$ и во неа графикот ги сече двете оски.

Нулата е двократна и секогаш кога кратноста на нулата е од парен ред (двократна, четирикратна и т. н.) таа е екстрем, а ако од непарен ред (еднократна, трократна, ...) графикот во неа ја сече $x-$ оската. Затоа ќе очекуваме функцијата да има екстрем во координатниот почеток.

3. Функцијата е парна, $y(-x)=\frac{(-x{)}^2}{(-x{)}^2-1}=\frac{x^2}{x^2-1}=y(x)$ , и симетрична е во однос на $y-$ оската.

4. Функцијата не е приодична.

5. Асимптоти:

Верикални асимптоти се $x=1$ и $x=-1$ .

$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{x^2}{x^2-1}=1\Rightarrow$ правата $y=1$ е хоризонтална асимптота.

Функцијата нема коса асимптота бидејќи има хоризонтална асимптота.

6. Прв извод, стационарни точки и интервали на монотоност:

$y^{\text{'}}=\frac{\mathrm{2x}(x^2-1)-x^2\cdot \mathrm{2x}}{(x^2-1{)}^2}=\frac{-\mathrm{2x}}{(x^2-1{)}^2}$ .

$y^{\text{'}}=0\Rightarrow \frac{-\mathrm{2x}}{(x^2-1{)}^2}=0\Rightarrow -\mathrm{2x}=0\Rightarrow x=0$ е стационарна точка.

$y(0)=0$ и координатите на стационарната точка се $(\mathrm{0,0})$ .

Од првиот извод $y^{\text{'}}=\frac{-\mathrm{2x}}{(x^2-1{)}^2}$ воочуваме дека именителот е квадратна функција и затоа секогаш е позитивен, а знакот на изводот ќе зависи само од знакот на броителот.

Така, за и за и интервалите на монотоност се:

на $\left(-\infty ,-1\right)$ функцијата расте,

на $\left(-\mathrm{1,0}\right)$ функцијата расте,

на $\left(\mathrm{0,1}\right)$ функцијата опаѓа,

на $\left(\mathrm{1,}+\infty \right)$ функцијата опаѓа.

Од интервалите на монотоност согледуваме дека во стационарната точка $x=0$ функцијата ќе има максимум, а тоа ќе го потврдиме со вториот извод.

7. Втор извод, екстреми и превојни точки.

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{-2(x^2-1{)}^2+\mathrm{2x2}(x^2-1)\mathrm{2x}}{(x^2-1{)}^4}=\frac{2(x^2-1)[-(x^2-1)+{\mathrm{4x}}^2]}{(x^2-1{)}^4}$

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{2({\mathrm{3x}}^2+1)}{(x^2-1{)}^3}$ .

е точка на максимум, т.е. max $(\mathrm{0,0})$ .

функцијата нема превојни точки.

Интервали на конвексност/конкавност:

Знакот на вториот извод $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{2({\mathrm{3x}}^2+1)}{(x^2-1{)}^3}$ ќе зависи само од знакот на изразот во именителот, бидејќи броителот секогаш е позитивен.

$x\in (-\infty ,-1)\Rightarrow y^{\text{'}\text{'}}>0\Rightarrow$ конвексна $(\cup )$ ,

конкавна $(\cap )$ ,

конкавна $(\cap )$ ,

$x\in (\mathrm{1,}+\infty )\Rightarrow y^{\text{'}\text{'}}>0\Rightarrow$ конвексна $(\cup )$ .

8. Врз основа на спроведените испитувања, графикот на функцијата е прикажан на Сл. 3.