<< Chapter < Page | Chapter >> Page > |
Ако за функцијата $f(x,y)$ важи
$f(\text{tx},\text{ty})={t}^{n}f(x,y)$ ,
таа се нарекува хомогена од n -ти ред.
Диференцијалната равенка од обликот
$M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}=0$
се нарекува хомогена диференцијална равенка ако функциите $M(x,y)$ и $N(x,y)$ се хомогени функции од ист ред. Хомогеноста на функциите кои се јавуваат во диференцијалната равенка овозможува таа да се запише во облик
$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f\left(\frac{y}{x}\right)\text{.}$
Со воведување на смената
$\frac{y}{x}=z$
односно
$y=\text{zx}$
и со нејзино диференцирање се добива
${y}^{\text{'}}={z}^{\text{'}}x+z$
или
$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=x\frac{\text{dz}}{\text{dx}}+z$
и по заменување во хомогената диференцијална равнка, се добива диференцијална равенка од облик
${z}^{\text{'}}x=f(z)-z,$
што укажува дека променливите во вака добиената диференцијална равенка може да се раздвојат.
Притоа:
$\int \frac{\text{dz}}{f(z)-z}=\int \frac{\text{dx}}{x}+\text{ln}C,$
$\int \frac{\text{dy}}{y}=\int \frac{\text{dx}}{x}+\text{ln}C$
односно
$y=\text{Cx}\text{.}$
Пример 3.
Да се најде општото решение на диференцијалната равенка ${{y}^{2}+{x}^{2}{y}^{\text{'}}=\text{xy}y}^{\text{'}}\text{.}$
РЕШЕНИЕ.
Оваа диференцијална равенка е хомогена од втор ред бидејки ако ја решиме по изводот се добива
${y}^{\text{'}}=\frac{{y}^{2}}{\text{xy}-{x}^{2}},$
а по делење на изразот од десната страна (и броителот и именителот) со ${x}^{2}$ се добива
${y}^{\text{'}}=\frac{{\left(\frac{y}{x}\right)}^{2}}{\frac{y}{x}-1}\text{.}$
Со воведување на смената $y=\text{zx}$ и нејзиниот извод ${y}^{\text{'}}={z}^{\text{'}}x+z$ , таа се трансформира во диференцијална равенка од обликот
${z}^{\text{'}}x+z=\frac{{z}^{2}}{z-1},$
во која променливите се раздвојуваат
$\frac{z-1}{z}\text{dz}=\frac{1}{x}\text{dx}\text{.}$
Решението на оваа равенка се добива по интегрирање
$\int \frac{z-1}{z}\text{dz}=\int \frac{1}{x}\text{dx}+\text{ln}C$ ,
и тоа е
$z-\text{ln}\mid z\mid =\text{ln}\mid x\mid +\text{ln}C$ ,
односно
$z=\text{ln}(\text{Cxz})$ .
Со враќање на старата променлива x преку смената $\frac{y}{x}=z$ , општото решение е
$\text{Cy}={e}^{\frac{y}{x}}\text{.}$ ◄
Пример 4.
Да се најде партикуларното решение на диференцијалната равенка
$(x{y}^{\text{'}}-y)\text{arctg}\frac{y}{x}=x,$ кое има вредност $y=0$ за $x=1\text{.}$
РЕШЕНИЕ:
Најпрво се бара општото решение на диференцијалната равенка. Таа е хомогена диференцијална равенка од прв ред бидејќи може да се запише во обликот
$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{1}{\text{arctg}\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}\text{.}$
Со користење на смената $\frac{y}{x}=z$ , односно $y=\text{zx}$ и изводот ${y}^{\text{'}}={z}^{\text{'}}x+z$ ,
во диференцијалната рвенка променливите се раздвојуваат бидејќи
${z}^{\text{'}}x=\frac{1}{\text{arctg}z}\text{.}$
Оваа равенка има општо решение
$\int \text{arctg}z\text{dz}=\int \frac{\text{dx}}{x}+\text{ln}C,$
кое по решавање на интегралите е во облик
$z\text{arctg}z-\frac{1}{2}\text{ln}(1+{z}^{2})=\text{ln}\text{Cx}$
или
$\frac{y}{x}\text{arctg}\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\text{ln}(1+{\frac{y}{{x}^{2}}}^{2})=\text{ln}\text{Cx}\text{.}$
Партикуларното решение ќе се добие со определување на константата C од почетните услови $y=0$ кога $x=1$ . Со замена на почетните услови во општото решение
$-\frac{1}{2}\text{ln}1=\text{ln}C\Rightarrow C=1$ .
Значи партикуларното решение е
$\frac{y}{x}\text{arctg}\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\text{ln}(1+{\frac{y}{{x}^{2}}}^{2})=\text{ln}x$
кое по антилогаритмирање е од обликот
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}={e}^{\frac{y}{x}\text{arctg}\frac{y}{x}}$ . ◄
Ако диференцијалната равенка е од облик
${y}^{\text{'}}=f\left(\frac{\text{ax}+\text{by}+c}{{a}_{1}x+{b}_{1}y+{c}_{1}}\right),$
со смената
$\begin{array}{}x=u+\alpha ,\text{dx}=\text{du}\\ y=v+\beta ,\text{dy}=\text{dv}\end{array}$
каде $u,v$ се нови променливи а $\alpha ,\beta $ се константи, таа се сведува на
$\frac{\text{dv}}{\text{du}}=f\left(\frac{\text{au}+\text{bv}+\mathrm{a\alpha}+\mathrm{b\beta}+c}{{a}_{1}u+{b}_{1}v+{a}_{1}\alpha +{b}_{1}\beta +{c}_{1}}\right)$ .
Идејата за оваа смена е равенката да се сведе на хомогена и затоа константите $\alpha ,\beta $ се определуваат преку системот равенки
$\begin{array}{}\mathrm{a\alpha}+\mathrm{b\beta}+c=0\\ {a}_{1}\alpha +{b}_{1}\beta +{c}_{1}=0\text{.}\\ \\ \begin{array}{}\{\end{array}\\ \end{array}$
При тоа:
$\frac{\text{dv}}{\text{du}}=f\left(\frac{\text{au}+\text{bv}}{{a}_{1}u+{b}_{1}v}\right)$
која може да се реши со постапката за решавање на хомогена диференцијална равенка.
Notification Switch
Would you like to follow the 'Математика 2' conversation and receive update notifications?