5.1 Диференцијални равенки од прв ред

Пример 3.

Да се најде општото решение на диференцијалната равенка ${y^2+x^2{y}^{\text{'}}=\text{xy}y}^{\text{'}}\text{.}$

РЕШЕНИЕ.

Оваа диференцијална равенка е хомогена од втор ред бидејки ако ја решиме по изводот се добива

$y^{\text{'}}=\frac{y^2}{\text{xy}-x^2},$

а по делење на изразот од десната страна (и броителот и именителот) со $x^2$ се добива

$y^{\text{'}}=\frac{{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}{\frac{y}{x}-1}\text{.}$

Со воведување на смената $y=\text{zx}$ и нејзиниот извод $y^{\text{'}}=z^{\text{'}}x+z$ , таа се трансформира во диференцијална равенка од обликот

$z^{\text{'}}x+z=\frac{z^2}{z-1},$

во која променливите се раздвојуваат

$\frac{z-1}{z}\text{dz}=\frac{1}{x}\text{dx}\text{.}$

Решението на оваа равенка се добива по интегрирање

$\int \frac{z-1}{z}\text{dz}=\int \frac{1}{x}\text{dx}+\text{ln}C$ ,

и тоа е

$z-\text{ln}\mid z\mid =\text{ln}\mid x\mid +\text{ln}C$ ,

односно

$z=\text{ln}(\text{Cxz})$ .

Со враќање на старата променлива x преку смената $\frac{y}{x}=z$ , општото решение е

$\text{Cy}=e^{\frac{y}{x}}\text{.}$ ◄

Пример 4.

Да се најде партикуларното решение на диференцијалната равенка

$(x{y}^{\text{'}}-y)\text{arctg}\frac{y}{x}=x,$ кое има вредност $y=0$ за $x=1\text{.}$

РЕШЕНИЕ:

Најпрво се бара општото решение на диференцијалната равенка. Таа е хомогена диференцијална равенка од прв ред бидејќи може да се запише во обликот

$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{1}{\text{arctg}\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}\text{.}$

Со користење на смената $\frac{y}{x}=z$ , односно $y=\text{zx}$ и изводот $y^{\text{'}}=z^{\text{'}}x+z$ ,

во диференцијалната рвенка променливите се раздвојуваат бидејќи

$z^{\text{'}}x=\frac{1}{\text{arctg}z}\text{.}$

Оваа равенка има општо решение

$\int \text{arctg}z\text{dz}=\int \frac{\text{dx}}{x}+\text{ln}C,$

кое по решавање на интегралите е во облик

$z\text{arctg}z-\frac{1}{2}\text{ln}(1+z^2)=\text{ln}\text{Cx}$

или

$\frac{y}{x}\text{arctg}\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\text{ln}(1+{\frac{y}{x^2}}^2)=\text{ln}\text{Cx}\text{.}$

Партикуларното решение ќе се добие со определување на константата C од почетните услови $y=0$ кога $x=1$ . Со замена на почетните услови во општото решение

$-\frac{1}{2}\text{ln}1=\text{ln}C\Rightarrow C=1$ .

Значи партикуларното решение е

$\frac{y}{x}\text{arctg}\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\text{ln}(1+{\frac{y}{x^2}}^2)=\text{ln}x$

кое по антилогаритмирање е од обликот

$\sqrt{x^2+y^2}=e^{\frac{y}{x}\text{arctg}\frac{y}{x}}$ . ◄