<< Chapter < Page Chapter >> Page >

z = ax + by size 12{z= ital "ax"+ ital "by"} {}

диференцијалната равенка се сведува на равенка во која променливите се раздвојуваат и како таква се решава.

Пример 5.

Да најде општото решение на диференцијалната равенка

y ' = 2 ( y + 2 ) 2 ( x + y 1 ) 2 . size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2 \( y+2 \) rSup { size 8{2} } } over { \( x+y - 1 \) rSup { size 8{2} } } } "." } {}

РЕШЕНИЕ.

Со смената

x = u + α , dx = du y = v + β , dy = dv alignl { stack { size 12{x=u+α,~ ital "dx"= ital "du"} {} #size 12{y=v+β,~ ital "dy"= ital "dv"~} {} } } {} dy dx = y ' = v ' = dv du size 12{ drarrow ~ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } = { {y}} sup { ' }= { {v}} sup { ' }= { { ital "dv"} over { ital "du"} } } {}

диференцијалната равенка се сведува на

v ' = 2 ( v + β + 2 ) 2 ( u + α + v + β 1 ) 2 . size 12{ { {v}} sup { ' }= { {2 \( v+β+2 \) rSup { size 8{2} } } over { \( u+α+v+β - 1 \) rSup { size 8{2} } } } "." } {}

За да биде оваа диференцијална равенка хомогена, потребно е да се реши системот равенки

β + 2 = 0 α + β 1 = 0 Δ 0 β = 2, α = 3 { size 12{alignl { stack { left lbrace β+2=0 {} #right none left lbrace α+β - 1=0 {} # right no } } lbrace ~ drarrow Δ<>0` drarrow ~β= - 2,`α=3} {} ,

а диференцијалната равенка со овие вредности е

v ' = 2v 2 ( u + v ) 2 , size 12{ { {v}} sup { ' }= { {2v rSup { size 8{2} } } over { \( u+v \) rSup { size 8{2} } } } ,} {}

односно таа е хомогена равенка

v ' = 2 v u 2 1 + v u 2 size 12{ { {v}} sup { ' }= { {2 left ( { {v} over {u} } right ) rSup { size 8{2} } } over { left (1+ { {u} over {v} } right ) rSup { size 8{2} } } } } {}

која со смената v = zu size 12{v= ital "zu"} {} и v ' = z ' u + z size 12{ { {v}} sup { ' }= { {z}} sup { ' }u+z} {} се сведува на равенка во која променливите се раздвојуваат

( 1 + z ) 2 z + z 3 dz = du u size 12{ - { { \( 1+z \) rSup { size 8{2} } } over {z+z rSup { size 8{3} } } } ital "dz"= { { ital "du"} over {u} } } {} .

Решението на оваа равенка е

ln z 2 arctg z = ln Cu size 12{ - "ln" \lline z \lline - 2"arctg"`z="ln" \lline ital "Cu" \lline } {}

кое по вараќање на променливте од последната замена z = v u size 12{z= { {v} over {u} } } {} има облик

arctg v u = 1 2 ln Cv size 12{"arctg"` { {v} over {u} } = - { {1} over {2} } "ln" \lline ital "Cv" \lline } {} или vC = e 2 arctg v u size 12{ ital "vC"=e rSup { size 8{ - 2"arctg"` { {v} over {u} } } } } {}

а по враќање на првобитните променливи од смената x = u + 3, y = v 2 size 12{x=u+3,~y=v - 2} {} , се добива општото решение на равенката кое гласи

( y + 2 ) C = e 2 arctg y + 2 x 3 size 12{ \( y+2 \) C=e rSup { size 8{ - 2"arctg"` { {y+2} over {x - 3} } } } } {} . ◄

Пример 6.

Да најде општото решение на диференцијалната равенка

y ' = 2x + y 1 4x + 2y + 5 . size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2x+y - 1} over {4x+2y+5} } "." } {}

РЕШЕНИЕ.

Оваа диференцијална равенка се сведува на хомогена равенка, но по воведување на смената детерминантата на системот е = 0. Равенката може да се запише во обликот

y ' = 2x + y 1 4x + 2y + 5 = ( 2x + y ) 1 2 ( 2x + y ) + 5 size 12{ { {y}} sup { ' }= { {2x+y - 1} over {4x+2y+5} } = { { \( 2x+y \) - 1} over {2 \( 2x+y \) +5} } } {}

и со смената

z = 2x + y y = z 2x y ' = z ' 2 size 12{z=2x+y~ drarrow ~y=z - 2x~ drarrow ~ { {y}} sup { ' }= { {z}} sup { ' } - 2} {}

таа се сведува на равенка во која променливите се раздвојуваат

z ' = 5z + 9 2z + 5 . size 12{ { {z}} sup { ' }= { {5z+9} over {2z+5} } "." } {}

Општото решение на оваа равенка е

2z + 5 5z + 9 dz = dx + C size 12{ Int { { {2z+5} over {5z+9} } ital "dz"} = Int { ital "dx"+C} } {}

и по интегрирање тоа гласи

2 5 z + 7 25 ln z + 9 5 = x + C size 12{ { {2} over {5} } z+ { {7} over {"25"} } "ln" \lline z+ { {9} over {5} } \lline =x+C} {}

и по враќање на старата променлива од смената z = 2x + y size 12{z=2x+y} {} , општото решение е

2 5 ( 2x + y ) + 7 25 ln 10 x + 5y + 9 5 = x + C . size 12{ { {2} over {5} } \( 2x+y \) + { {7} over {"25"} } "ln" lline { {"10"x+5y+9} over {5} } rline =x+C "." } {}

3. линерана диференцијална равенка

Општиот облик на линерна диференцијална равенка од прв ред е

dy dx + P ( x ) y = Q ( x ) size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } +P \( x \) y=Q \( x \) } {} ,

каде P ( x ) , Q ( x ) size 12{P \( x \) ,``Q \( x \) } {} се дадени непрекинати функции од променливата x size 12{x} {} .

Равенката од обликот

dy dx + P ( x ) y = 0 size 12{ { { ital "dy"} over { ital "dx"} } +P \( x \) y=0} {}

се нарекува хомогена линеарна диференцијална равенка од прв ред. Во оваа равенка променливите се раздвојуваат и нејзиното општо решение е

dy y = P ( x ) dx + ln C size 12{ Int { { { ital "dy"} over {y} } } = - Int {P \( x \) ital "dx"} +"ln"C} {}

или

y = Ce P ( x ) dx size 12{y= ital "Ce" rSup { size 8{ - Int {P \( x \) ital "dx"} } } } {} .

Ова решение на хомогената линеарна равенка може да се искористи за определување на општото решение на нехомогената линеарна равенка со користење на методот на варијација на константи, со кој константата C се третира како непрекината и диференцијабилна функција C ( x ) size 12{C \( x \) } {} . Затоа решението на хомогената линеарна равенка сега ќе биде

y = C ( x ) e P ( x ) dx size 12{y=C \( x \) e rSup { size 8{ - Int {P \( x \) ital "dx"} } } } {} ,

а неговиот извод е

y ' = e P ( x ) dx C ' ( x ) P ( x ) C ( x ) . size 12{ { {y}} sup { ' }=e rSup { size 8{ - Int {P \( x \) ital "dx"} } } left [ { {C}} sup { ' } \( x \) - P \( x \) C \( x \) right ] "." } {}

Заменувајќи го ова решение и неговиот извод во нехомогената линерна равенка се добива

e P ( x ) dx C ' ( x ) P ( x ) C ( x ) + P ( x ) C ( x ) e P ( x ) dx = Q ( x ) size 12{e rSup { size 8{ - Int {P \( x \) ital "dx"} } } left [ { {C}} sup { ' } \( x \) - P \( x \) C \( x \) right ]+P \( x \) C \( x \) e rSup { size 8{ - Int {P \( x \) ital "dx"} } } =Q \( x \) } {}

или по средување

C ' ( x ) = Q ( x ) e P ( x ) dx size 12{~ { {C}} sup { ' } \( x \) =Q \( x \) e rSup { size 8{ Int {P \( x \) ital "dx"} } } } {}

од каде следува дека

C ( x ) = Q ( x ) e P ( x ) dx dx + C , C = const . size 12{C \( x \) = Int {Q \( x \) e rSup { size 8{ Int {P \( x \) ital "dx"} } } } ital "dx"+C,~C= ital "const" "." } {}

Со замена на оваа вредност за C ( x ) size 12{C \( x \) } {} во решението се добива

y = e P ( x ) dx C + Q ( x ) e P ( x ) dx dx size 12{y=e rSup { size 8{ - Int {P \( x \) ital "dx"} } } left [C+ Int {Q \( x \) } e rSup { size 8{ Int {P \( x \) ital "dx"} } } ital "dx" right ]} {}

што претставува општо решение на линеарната диференцијална равенка од прв ред.

Пример 7.

Да се најде партикуларното решение на диференцијалната равенка

( 1 + x 2 ) y ' 2 xy = ( 1 + x 2 ) 2 size 12{ \( 1+x rSup { size 8{2} } \) { {y}} sup { ' } - 2 ital "xy"= \( 1+x rSup { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } } {} кое за x = 1, y = 2 size 12{x=1,`y=2} {} .

РЕШЕНИЕ.

Диференцијалната равенка се запишува како

y ' 2x 1 + x 2 y = 1 + x 2 size 12{ { {y}} sup { ' } - { {2x} over {1+x rSup { size 8{2} } } } y=1+x rSup { size 8{2} } } {} ,

и таа е линеарна при што P ( x ) = 2x 1 + x 2 , Q ( x ) = 1 + x 2 . size 12{P \( x \) = - { {2x} over {1+x rSup { size 8{2} } } } ,~Q \( x \) =1+x rSup { size 8{2} } "." } {}

Применувајќи ја формулата за општо решение на линеарната диференцијална равенка од прв ред се добива

y = e 2x 1 + x 2 dx C + ( 1 + x 2 ) e 2x 1 + x 2 dx dx size 12{y=e rSup { size 8{ Int { { {2x} over {1+x rSup { size 6{2} } } } } ital "dx"} } left [C+ \( 1+x rSup {2} size 12{ \) e rSup { - Int { { {2x} over {1+x rSup { size 6{2} } } } } ital "dx"} } size 12{ ital "dx"} right ]} {} ,

или по решавање на интегралите, општото решение е

y = ( 1 + x 2 ) ( C + x ) size 12{y= \( 1+x rSup { size 8{2} } \) \( C+x \) } {} .

Со замена на почетните услови x = 1, y = 2 size 12{x=1,`y=2} {} во општото решение

2 = ( 1 + 1 ) ( C + 1 ) C = 0 size 12{2= \( 1+1 \) \( C+1 \) ~ drarrow ~C=0} {}

се пресмета вредноста на интегралната константа и затоа бараното партикуларно решение е

y = ( 1 + x 2 ) x size 12{y= \( 1+x rSup { size 8{2} } \) x} {} . ◄

Пример 8.

Да најде општото решение на диференцијалната равенка

y ' = y 2y ln y + y x size 12{ { {y}} sup { ' }= { {y} over {2y"ln"y+y - x} } } {} .

РЕШЕНИЕ.

Ова е пример на диференцијална равенка која не е линеарна по y size 12{y} {} , а е линерна по променливата x size 12{x} {} . Користејќи ја релацијата

y ' = dy dx = 1 dx dy = 1 x ' size 12{ { {y}} sup { ' }= { { ital "dy"} over { ital "dx"} } = { {1} over { { { ital "dx"} over { ital "dy"} } } } = { {1} over { { {x}} sup { ' }} } } {} ,

диференцијалната равенка се запишува во облик

1 x ' = y 2y ln y + y x size 12{ { {1} over { { {x}} sup { ' }} } = { {y} over {2y"ln"y+y - x} } } {}

или

x ' = 2y ln y + y x y size 12{ { {x}} sup { ' }= { {2y"ln"y+y - x} over {y} } } {} ,

од каде се гледа дека таа е линеарна по променливата x size 12{x} {} и се запишува во вообичаениот облик како

x ' + x y = 2y ln y + 1 size 12{ { {x}} sup { ' }+ { {x} over {y} } =2y"ln"y+1} {} .

Според тоа изразот за општо решение на оваа диференцијална равенка која е линеарна по променливата x size 12{x} {} ќе гласи

x = e dy y ( 2y ln y + 1 ) e dy y dy + C size 12{x=e rSup { size 8{ - Int { { { ital "dy"} over {y} } } } } left [ Int { \( 2y"ln"y+1 \) e rSup { size 8{ Int { { { ital "dy"} over {y} } } } } ital "dy"+C} right ]} {} ,

а по решавање на интегралите се добива

x = 1 y y 2 ( ln y 1 2 ) + y 2 2 + C size 12{x= { {1} over {y} } left [y rSup { size 8{2} } \( "ln"y - { {1} over {2} } \) + { {y rSup { size 8{2} } } over {2} } +C right ]} {}

и по средување на овој израз, општото решение е

x = C y + y ln y size 12{x= { {C} over {y} } +y"ln"y} {} . ◄

4. бернулиева диференцијална равенка

Диференцијалната равенка од облик

y ' + P ( x ) y = Q ( x ) y n size 12{ { {y}} sup { ' }+P \( x \) y=Q \( x \) y rSup { size 8{n} } } {}

се нарекува Бернулиева (Bernoulli) диференцијална равенка. Со погодна смена на функцијата, оваа равенка може да се сведе на линеарна диференцијална равенка. За таа цел Бернулиевата диференцијална равенка се дели со y n size 12{y rSup { size 8{n} } } {}

y ' + P ( x ) y = Q ( x ) y n /: y n size 12{ { {y}} sup { ' }+P \( x \) y=Q \( x \) y rSup { size 8{n} } "/:"y rSup { size 8{n} } } {}

при што се добива

y n y ' + P ( x ) y 1 n = Q ( x ) size 12{y rSup { size 8{ - n} } { {y}} sup { ' }+P \( x \) y rSup { size 8{1 - n} } =Q \( x \) } {} .

Со смената

t = y 1 n , t ' = ( 1 n ) y n y ' size 12{t=y rSup { size 8{1 - n} } ,~ { {t}} sup { ' }= \( 1 - n \) y rSup { size 8{ - n} } { {y}} sup { ' }} {}

Бернулиевата се сведува на линеарна равенка по новата променлива t size 12{t} {}

1 1 n t ' + P ( x ) t = Q ( x ) size 12{ { {1} over {1 - n} } { {t}} sup { ' }+P \( x \) t=Q \( x \) } {}

и за нејзино решавање се применува постапката за решавање на линерна дифернцијална равенка и на крај потребно е да се вратиме на старата променлива.

Пример 9.

Да најде општото решение на диференцијалната равенка

y ' y tg x + y 2 cos x = 0 size 12{ { {y}} sup { ' } - y`"tg"`x+y rSup { size 8{2} } "cos"x=0} {} .

РЕШЕНИЕ.

Дадената равенка е Бернулиева диференцијална равенка

y ' y tg x = y 2 cos x size 12{ { {y}} sup { ' } - y`"tg"`x= - y rSup { size 8{2} } "cos"x} {}

која по делење со y 2 size 12{y rSup { size 8{2} } } {} ја дава равенката

y ' y 2 tg x y = cos x size 12{ { { { {y}} sup { ' }} over {y rSup { size 8{2} } } } - { {"tg"`x} over {y} } = - "cos"x} {}

и која преку смената

t = 1 y , t ' = y ' y 2 size 12{t= { {1} over {y} } ,~ { {t}} sup { ' }= - { { { {y}} sup { ' }} over {y rSup { size 8{2} } } } } {}

се сведува на линеарна диференцијална равенка

t ' t tg x = cos x size 12{ - { {t}} sup { ' } - t`"tg"`x= - "cos"x} {} ,

односно

t ' + t tg x = cos x size 12{ { {t}} sup { ' }+t`"tg"`x="cos"x} {}

чие што решение е

t = e tgxdx cos x e tgxdx dx + C size 12{t=e rSup { size 8{ - Int { ital "tgxdx"} } } left [ Int {"cos"x`e rSup { size 8{ Int { ital "tgxdx"} } } } ital "dx"+C right ]} {} .

Решавајќи ги интегралите од десната страна, се добива дека

t = ( x + C ) cos x size 12{t= \( x+C \) "cos"x} {}

и по враќање на старата променлива од смената t = 1 y size 12{t= { {1} over {y} } } {} , општото решение на бараната Бернулиева равенка е

y = 1 ( x + C ) cos x size 12{y= { {1} over { \( x+C \) "cos"x} } } {} . ◄

Пример 10.

Да се најде општото решение на Бернулиевата диференцијална равенка

xy ( xdy + ydx ) = 4x 3 dx size 12{ ital "xy" \( ital "xdy"+ ital "ydx" \) =4x rSup { size 8{3} } ital "dx"} {} .

РЕШЕНИЕ.

Ако во диференцијалната равенка

xy ( xdy + ydx ) = 4x 3 dx size 12{ ital "xy" \( ital "xdy"+ ital "ydx" \) =4x rSup { size 8{3} } ital "dx"} {}

се ослободиме од заградата (множиме) и потоа поделиме со dx size 12{ ital "dx"} {} , се добива

x 2 y dy dx + xy 2 = 4x 3 size 12{x rSup { size 8{2} } y { { ital "dy"} over { ital "dx"} } + ital "xy" rSup { size 8{2} } =4x rSup { size 8{3} } } {} .

Делејќи ја последната равенка со коефициентот x 2 y size 12{x rSup { size 8{2} } y} {} кој е пред изводот

x 2 y dy dx + xy 2 = 4x 3 /: x 2 y size 12{x rSup { size 8{2} } y { { ital "dy"} over { ital "dx"} } + ital "xy" rSup { size 8{2} } =4x rSup { size 8{3} } "/:"x rSup { size 8{2} } y} {}

се добива стандардниот облик на Бернулиева диференцијална равенка

y ' + y x = 4x y size 12{ { {y}} sup { ' }+ { {y} over {x} } = { {4x} over {y} } } {} .

Во оваа равенка степенот n = 1 size 12{n= - 1} {} и затоа равенката ја делиме со y 1 size 12{y rSup { size 8{ - 1} } } {} (множиме со y size 12{y} {} ) при што се добива

y y ' + y 2 x = 4x size 12{y { {y}} sup { ' }+ { {y rSup { size 8{2} } } over {x} } =4x} {}

и со смената t = y 2 t ' = 2y y ' size 12{t=y rSup { size 8{2} } ~ drarrow ~ { {t}} sup { ' }=2y { {y}} sup { ' }} {} , таа се сведува на линеарна диференцијална равенка

t ' + 2 x t = 8x size 12{ { {t}} sup { ' }+ { {2} over {x} } t=8x} {}

која има решение

t = e 2 x dx 8 xe 2 x dx dx + C size 12{t=e rSup { size 8{ - Int { { {2} over {x} } } ital "dx"} } left [ Int {8 ital "xe" rSup { size 8{ Int { { {2} over {x} } } ital "dx"} } ital "dx"} +C right ]} {} ,

односно

t = 1 x 2 ( 2x 4 + C ) size 12{t= { {1} over {x rSup { size 8{2} } } } \( 2x rSup { size 8{4} } +C \) } {} .

Со враќање на старата променлива од смената t = y 2 size 12{t=y rSup { size 8{2} } } {} , се добива општото решение

y 2 x 2 = 2x 4 + C . size 12{y rSup { size 8{2} } x rSup { size 8{2} } =2x rSup { size 8{4} } +C "." } {}

Questions & Answers

what is a market demand schedule
Blessed Reply
What is demand curve
mohamed Reply
Types of demand curve
mohamed
demand curve is a showing the aggregate of demand whether falling from right to the left in the table above
BULAMA
demand curve is the graphical representation of various quantities of a commodity bought at various prices
Blessed
What is the formula for calculating elasticity
Hafsat Reply
what is demand
Anefor Reply
demand is the quantity of commodity that consumers wil be able and wiling to buy at a given price at a given time
Delly
what is international trade?
Friday Reply
it is the exchange of goods and services across international borders.
Tweneboah
what is taxation
Eunice Reply
the definition of economic by Adam Smith
Geon Reply
Adam Smith define economic as the science of wealth
Hafsat
What is enconomics
mohamed
what is meant by pisp in economics?
Amara Reply
payment initiation service provider
Khuselo
what is demand
Joy Reply
demand
Demand refers to the consumers' desire to purchase goods at given prices. Demand can mean either demand for a specific good or aggregate demand for the total of all goods in an economy.
What is economc
Joseph Reply
What is economc
nahurira
What is Economic
Vicky Reply
What's the price index of consumption?
Pun Reply
what population
Hackman Reply
I think it's the sum total of people in a goegraphical area at a given time
Ruth
it refers to the number of people living in a particular area over a given period of time
Vanessa
decribe law of demand
Lovely Reply
the higher the price , the higher the quantity demanded
Ruth
what is economic growth
Metuge Reply
what is an economic system
Metuge
Economic system is the mechanism which deals with the production, distribution and consumption of good and services in a particular society
Happy
of course
Maesela
what is a weight
Maesela
What is a weight
mohamed
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Диференцијални равенки. OpenStax CNX. Jun 04, 2012 Download for free at http://cnx.org/content/col11414/1.2
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Диференцијални равенки' conversation and receive update notifications?

Ask